[Fis1] Add Trabalho de Forças and Momentum

content/fis-i/0004-work.md

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+---
+title: Trabalho de Forças
+description: >-
+  Trabalho de uma Força para 1 Dimensão e para n Dimensões.
+  Trabalho como Variação de Energia.
+path: /fis-i/work
+type: content
+---
+
+# Trabalho de Forças
+
+```toc
+
+```
+
+Nas secções anteriores falámos de vários tipos diferentes de forças e vimos que
+cada força atua sobre um corpo de uma maneira diferente.  
+Vamos agora definir essa interação através do **trabalho**.
+
+## Trabalho de uma Força (1 dimensão)
+
+O **trabalho de uma força** é a energia transformada ou transferida a um corpo ao aplicar-lhe uma força.
+No secundário aprendemos a fórmula para o **trabalho** quando a força aplicada e o movimento eram simples:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+W_F = F \cdot \cos\varTheta \cdot \Delta x && \Delta x = x_f - x_i
+\end{darray}
+$$
+
+![Trabalho da força basico](./assets/0004-work-simple.png#dark=2)
+
+:::warning[Atenção!]
+Apenas as componentes da força com a mesma direção do movimento do corpo ao qual a força é aplicada produzem trabalho.
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\text{Se } \varTheta = 90\op{deg} \text{ então } W_f = 0
+\end{darray}
+$$
+
+:::
+
+## Trabalho de uma Força (n dimensões)
+
+A forma anterior serve perfeitamente para sistemas de 1 dimensão mas quando o sistema
+tem $n$ dimensões, ao acrescentar eixos por exemplo, é preciso uma fórmula mais geral:
+
+### Coordenadas Cartesianas
+
+![Trabalho da força geral](./assets/0004-work-complex-movement.png#dark=2)
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\vec{F} = (F_x, F_y, F_z) & d\vec{r} = (dx, dy, dz)\\
+\end{darray}
+$$
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\vec{F}\cdot d\vec{r} = F_xdx + F_ydy + F_zdz
+\end{darray}
+$$
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+W_F = \int^f_i \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int^f_i F_xdx + \int^f_i F_ydy + \int^f_i F_zdz
+\end{darray}
+$$
+
+### Coordenadas Polares
+
+![Trabalho da força geral](./assets/0004-polar-coordinates-work.png#dark=2)
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\vec{F} = (F_r, F_\varTheta) & d\vec{r} = (dr, d\varTheta)\\
+\end{darray}
+$$
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\vec{F}\cdot d\vec{r} = F_rdr + F_\varTheta d\varTheta
+\end{darray}
+$$
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+W_F = \int^f_i \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int^f_i F_rdr + \int^f_i F_\varTheta d\varTheta
+\end{darray}
+$$
+
+:::details[Prova]
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\vec{e_x} = \;\,\, \sin\varTheta\, \vec{e_r} + \cos\varTheta\, \vec{e_\varTheta}\\
+\vec{e_y} = -\cos\varTheta\, \vec{e_r} + \sin\varTheta\, \vec{e_\varTheta}\\
+\end{darray}
+$$
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+x = \enspace\,r\sin\varTheta \enspace\rArr\enspace \d x = \>\,\,\sin\varTheta\, \d r + r\cos\varTheta\, \d \varTheta\\
+y = -r\cos\varTheta \enspace\rArr\enspace \d y = -\cos\varTheta\, \d r + r\sin\varTheta\, \d \varTheta\\
+\end{darray}
+$$
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\text{Portanto, se }\d\vec{r} = \d x\,\vec{e_x} + \d y\,\vec{e_y}:\\
+\text{ }\\
+\vec{F}\cdot \d\vec{r} \>= \vec{F}\,(\d x\,\vec{e_x} + \d y\,\vec{e_y})\\
+
+\qquad\>\>\, = \vec{F}\,((\sin\varTheta\, dr + r\cos\varTheta\, d\varTheta)(\sin\varTheta\,\vec{e_r} + \cos\varTheta\,\vec{e_\varTheta}) \space + \\
+\qquad\qquad\quad\, (-\cos\varTheta\, \d r + r\sin\varTheta\, \d\varTheta)(-\cos\varTheta\,\vec{e_r} + \sin\varTheta\,\vec{e_\varTheta}))\\
+
+\qquad\>\>\, = \vec{F}\,(\d r\,\vec{e_r} + r\,\d \varTheta\,\vec{e_\varTheta})\\
+
+\qquad\>\>\, = F_r\,\d r + F_\varTheta\,\d\varTheta
+\end{darray}
+$$
+
+:::
+
+:::info[Exemplo]
+Podemos agora calcular o trabalho da força gravítica enquanto um corpo cai em direção à terra:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\d \vec{r} = \d r\,\vec{e_r}\\
+
+W_G = \int^{r_f}_{r_i}\vec{F}\cdot \d\vec{r} = \int^{r_f}_{r_i} -\frac{GM_Tm}{R^2}\,\vec{e_r}\cdot\vec{e_r}\,\d r = \frac{GM_Tm}{r_f} - \frac{GM_Tm}{r_i}
+\end{darray}
+$$
+
+:::
+
+:::warning[Atenção]
+O trabalho de uma força conservativa apenas depende da posição inicial e final,
+sendo o trajeto feito para chegar de um ponto para o outro irrelevante
+:::
+
+## Trabalho como Variação de Energia
+
+A força gravítica é conservativa podendo assim ser expressa como uma variação de enrgia potencial.  
+Se fizermos corresponder a cada ponto do espaço uma energia potencial
+$\;E_p = -\frac{GM_tm}{R}\;$ podemos definir o trabalho da força gravítica entre dois pontos como:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+W_F = -\,(\,E_f - E_i\,)
+\end{darray}
+$$
+
+Conseguimos ainda expressar a força gravítica como gradiente de uma energia potencial:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\vec{\nabla}E_p\,(\vec{r}) = \frac{\partial E}{\partial x}\,\vec{e_x} + \frac{\partial E}{\partial y}\,\vec{e_y} + \frac{\partial E}{\partial z}\,\vec{e_z}\\
+\,\\
+\vec{F} = -\vec{\nabla}\,E_p(\vec{r})
+\end{darray}
+$$
+
+:::details[Coordenadas esféricas]
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\vec{\nabla}U = \frac{\partial U}{\partial r}\,\vec{e_r} + \frac{1}{r}\,\frac{\partial U}{\partial \sigma}\,\vec{e_\sigma} + \frac{1}{r\sin\sigma}\,\frac{\partial U}{\partial \phi}\,\vec{e_\phi}
+\end{darray}
+$$
+
+:::
+
+:::tip[Trabalho de Forças Exteriores]
+O trabalho de forças exteriores é igual à variação da energia cinética do sistema:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+W_F = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 - \frac{1}{2}\,m\,v_i^2
+\end{darray}
+$$
+
+ou, em termos de energia potencial:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+E_{pf} + \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 = E_{pi} + \frac{1}{2}\,m\,v_i^2
+\end{darray}
+$$
+
+Podemos definir a energia total do sistema:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+E_{Total} = E_p + E_i
+\end{darray}
+$$
+
+que é conservada para forças conservativas
+:::
+
+:::details[Prova]
+Podemos mostrar que $E_{Total}$ é conservada da seguinte forma:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\frac{\partial E_{Total}}{\partial t} = \frac{\partial E_p}{\partial t} + \frac{\partial E_c}{\partial t}
+\end{darray}
+$$
+
+Mas $\;E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ , logo
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\frac{\partial E_c}{\partial t} = \frac{1}{2}\,m\,(2\,v\,\dot{v}) = mva \\
+\,\\
+\frac{\partial E_p}{\partial t} = \frac{\partial E_p}{\partial t} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}\cdot\vec{\nabla}E_p = \frac{\partial E_p}{\partial t} + \vec{v}\cdot\vec{\nabla}E_p
+\end{darray}
+$$
+
+Ora , para todos os problemas de física $\frac{\partial E_p}{\partial t} = 0$ logo
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\frac{\partial E_{Total}}{\partial t} = \vec{v}\cdot\vec{\nabla}E_p + vma
+\end{darray}
+$$
+
+mas
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+ma = F_G = -\nabla E_p \text{ ,\quad logo }\quad \frac{\partial E_{Total}}{\partial t} = 0
+\end{darray}
+$$
+
+:::
+
+:::info[Exemplo 1]
+
+**Uma pedra foi lançada verticalmente com velocidade $v_i$. Calcule a altura máxima que atinge.**
+
+Podemos usar a conservação de energia uma vez que estamos apenas a considerar que a única força aplicada no corpo é a força gravítica:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+E_{Total} = \text{const} \implies \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 + mgh_{max}
+\end{darray}
+$$
+
+como $\, v_f = 0 \,$ então:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\frac{1}{2}\,m\,v_i^2 = mgh_{max} \iff h_{max} = \frac{v_i^2}{2g}
+\end{darray}
+$$
+
+A energia cinética transforma-se em potencial.
+:::
+
+:::info[Exemplo 2]
+
+**Uma pedra foi lançada ao ar com velocidade extremamente grande.
+Qual a velocidade de escape, isto é, a velocidade mínima para chegar ao infinito?**
+
+Usamos novamente a conservação de energia considerando apenas a força gravítica como força aplicada à pedra:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+E_{Total} = const \implies \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 - \frac{GM_Tm}{R_T} = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 - \frac{GM_Tm}{R_\infty}
+\end{darray}
+$$
+
+como $\, \frac{1}{\infty} = 0 \,$ e $\, v_f = 0 \,$ então:
+
+$$
+\begin{darray}{ll}
+\frac{1}{2}\,m\,v_i^2 - \frac{GM_Tm}{R_T} = 0 \iff v_i^2 = \frac{2GM_T}{R_T}
+\end{darray}
+$$
+
+Como o raio e massa da Terra são valores conhecidos é possível calcular a
+velocidade de escape um corpo na Terra $\, v_i \backsimeq 11 \,\op{km/s} \,$,
+ignorando a rotação da Terra.
+
+A velocidade de escape de um buraco negro é igual à velocidade da luz.
+:::