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+# Wahrscheinlichkeitstheorie
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+### Vorbemerkungen {-}
+
+Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung 
+von und zum quantitativen Schlussfolgern über *Zufallsvorgänge* der Wirklichkeit 
+(@fig-wahrscheinlichkeitstheorie). Unter Zufallsvorgängen verstehen wir dabei 
+alle Phänomene, die von uns nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden können, 
+deren Ergebnis also mit Unsicherheit behaftet ist. Offensichtliche und vertraute 
+Beispiele für Zufallsvorgänge sind das Werfen eines Würfels oder einer Münze. 
+Allerdings ist der Begriff des Zufallsvorgangs und damit der Anwendungsbereich 
+der Wahrscheinlichkeitstheorie als sehr viel weiter gefasst zu verstehen. Nicht 
+mit vollständiger Sicherheit vorhersagbar und damit mit Unsicherheit behaftet 
+sind zum Beispiel auch der Ausgang einer Wahl, das morgige Wetter, der Messwert 
+einer EEG-Elektrode zu einem bestimmten Zeitpunkt nach Applikation eines Reizes, 
+oder der Effekt einer Psychotherapieintervention auf den Gesundheitszustand 
+einer Patient:in. Beginnt man darüber nachzudenken, welche Phänomene der Wirklichkeit 
+mit Unsicherheit behaftet sind, so fällt es schwer, nichttriviale Phänomene anzugeben, 
+hinsichtlich deren Ergebnis man vollständige Sicherheit besitzt.
+
+![*Wahrscheinlichkeitstheorie als Modell von Zufallsvorgängen.* Ausgangspunkt der
+Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Absicht, über einen Zufallsvorgang, also ein mit
+Unsicherheit behaftetes Phänomen der Wirklichkeit, logisch-quantitative Schlüsse zu ziehen.
+Die Repräsentation zentraler Aspekte des Zufallsvorgang mithilfe wahrscheinlichkeitstheoretischer
+Begrifflichkeiten bezeichnet man als Modellierung. Das wahrscheinlichkeitstheoretische
+Modell selbst garantiert dann im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Korrektheit 
+logisch-quantitativer Schlussfolgerungen, welche zur Vorhersage von Aspekten des 
+Zufallsvorgangs genutzt werden können.](./_figures/200-wahrscheinlichkeitstheorie){#fig-wahrscheinlichkeitstheorie fig-align="center"}
+
+Als mathematisches Modell von Zufallsvorgängen erlaubt die 
+Wahrscheinlichkeitstheorie insbesondere das vernunftbasierte, quantitative
+Schlussfolgern über Zufallsvorgänge. Dies schlägt sich primär in der sogenannten 
+*Wahrscheinlichkeitsrechnung* nieder. Quantitative Schlussfolgerungen der 
+Wahrscheinlichkeitsrechnung haben beispielsweise folgende Form: Wenn ich 
+annehme, dass das Ereignis $A$ mit Wahrscheinlichkeit $x$ und Ereignis $B$ 
+mit Wahrscheinlichkeit $y$ eintritt, dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit 
+von Ereignis $C$ eine Wahrscheinlichkeit von $z$. Dabei ist der Schluss auf die 
+Wahrscheinlichkeit von $C$ logisch-mathematisch abgesichert, in dem Sinne wie 
+zum Beispiel logisch-mathematisch abgesichert ist, dass $1+1=2$ ist. Ob die 
+Annahmen hinsichtlich der Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ aber den Gegebenheiten 
+des Zufallsvorgangs in der Wirklichkeit entsprechen, darüber macht 
+die Wahrscheinlichkeitstheorie keine Aussagen. 
+
+Die Wahrscheinlichkeitstheorie selbst bedient sich dabei der mathematischen 
+Theorie der Mengen und Funktionen. Spätestens seit @kolmogoroff1933 herrscht 
+dabei ein axiomatischer Zugang vor: Man fragt in der Wahrscheinlichkeitstheorie 
+selbst nicht, was denn eine Wahrscheinlichkeit sei oder inwieweit die Vorhersagen 
+der Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Wirklichkeit übereinstimmen, sondern 
+versucht ein in sich schlüssiges formal-mathematisches System von unbegründeten, 
+aber intuitiv plausiblen, Grundannahmen und ihren Folgerungen zu entwickeln. 
+Ausgangspunkt dieser Entwicklung ist das *Wahrscheinlichkeitsraummodell* eines
+Zufallsvorgangs, das wir in @sec-wahrscheinlichkeitsraeume einführen werden.
+In der Tat gibt es neben dem formal-mathematischen System der 
+Wahrscheinlichkeitstheorie bis heute mathematisch-philosophische Diskussionen darüber, 
+was genau denn unter dem Begriff der "Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses" zu 
+verstehen ist (vgl. @hajek2019). Dabei sind grob gesagt zwei etwas gegensätzliche 
+Interpretationen vorherrschend, die sogenannte *Frequentistische Interpretation* 
+und die sogenannte *Bayesianische Interpretation*.
+
+Nach der *Frequentistischen Interpretation* ist die Wahrscheinlichkeit eines 
+Ereignisses  die idealisierte relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis unter 
+den gleichen äußeren Bedingungen einzutreten pflegt. Zum Beispiel ist die 
+Frequentistische Interpretation der Aussage "Mit einer Wahrscheinlichkeit von
+1/6 zeigt der Würfel im nächsten Wurf eine 2" die folgende: "Wenn man einen Würfel 
+unendlich oft werfen würde und dabei die relative Häufigkeit des Ereignisses, dass 
+der Würfel eine 2 zeigt, bestimmen würde, dann wäre diese relative Häufigkeit 
+gleich 1/6". Man beachte bei dieser Interpretation, dass man de-facto die 
+Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht empirisch bestimmen kann, da man 
+einen Würfel nicht unendlich oft werfen kann. Natürlich kann man die 
+Wahrscheinlichkeit in dieser Interpretation aber empirisch schätzen. 
+Schätzvorgänge selbst wiederrum sind allerdings kein Teil der Wahrscheinlichkeitstheorie, 
+sondern der *Frequentistischen* oder *Bayesianischen Inferenz*.  
+
+Nach der *Bayesianischen Interpretation* ist die Wahrscheinlichkeit eines 
+Ereignisses  der Grad der Sicherheit, den eine Beobachter:in aufgrund ihrer 
+subjektiven Einschätzung der Lage dem Eintreten des Ereignisses $A$ zumisst. 
+Zum Beispiel ist die Bayesianische Interpretation der Aussage "Mit einer 
+Wahrscheinlichkeit von 1/6 zeigt der Würfel im nächsten Wurf eine Zwei" dann etwa die
+folgende: "Basierend auf meiner eigenen und der tradierten Erfahrung mit dem 
+Werfen eines Würfels bin ich mir zu 16.6% sicher, dass der Würfel beim nächsten 
+Wurf eine Zwei zeigt." 
+
+In Modellen von tatsächlich zumindest unter ähnlichen Umständen wiederholbaren 
+Zufallsvorgängen wie dem Werfen eines Würfels ist der Unterschied zwischen 
+Frequentistischer und Bayesianischer Interpretation oft eher subtil. Es gibt 
+aber wie oben angedeutet viele Zufallsvorgänge, die mit Wahrscheinlichkeiten 
+beschrieben werden können, bei denen aufgrund ihrer Einmaligkeit eine 
+Frequentistische Interpretation nicht angemessen ist. Zum Beispiel machen 
+Aussagen der Form "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die weltweiten Hitzerekorde 
+im Jahr 2023 nicht auf den Klimawandel zurückzuführen sind, ist kleiner als 0.01" (vgl.
+@philip2020) nur unter der Bayesianischen Interpretation Sinn, da es sich bei den 
+Wetteraufzeichnungen des Jahres 2023 um ein einmaliges, nicht wiederholbares Ereignis handelt.  
+
+Obwohl also die Interpretation des Begriffes der Wahrscheinlichkeit durchaus 
+nicht eindeutig ist, unterscheiden sich die formalen Definitionen und Rechenregeln 
+für Wahrscheinlichkeiten nicht. Sowohl die Frequentistische als auch die 
+Bayesianische Inferenz, auf die wir an späterer Stelle eingehen, haben mit der 
+Wahrscheinlichkeitstheorie also ein identisches mathematisches Bezugssystem 
+und gemeinsames Fundament.