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ComonadCofree.md

File metadata and controls

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はじめに

どうも 21B の yukikurage です。特にココに書くこともないので本題を始めます。

Functor の Paring

purescript-pairing では Functor f g が Pairing していることを

type Pairing f g = forall c b a. (a -> b -> c) -> f a -> g b -> c

型の関数が存在する事で定義しています。さらに Pairing　を演算子化しています

f ⋈ g = Pairing f g

このままでは Pairing がどの様なものか分かりにくいですが、次の関数を見ると分かりやすいかなと思います

zap :: forall f g a b. f ⋈ g -> f (a -> b) -> g a -> b
zap pairing = pairing ($)

a が g でラップされているので本来 a -> b にそのまま適用できませんが、f によって g を "解釈" して、a　型の値を取り出し、それを a -> b に適用して b にしていると見れます。

これはプログラム g a をインタプリタ f (a -> b) で解釈して、b を得る、と見ることができます。（比喩ですが）

特に g がモナド、f がコモナドの場合はこのアナロジーが使いやすいです。（モナドは一種の DSL で書かれたプログラムとしてみれるので）

具体的な値を入れて確認してみましょう。

Tuple s ⋈　Function s

tupleFunc :: forall s. Tuple s ⋈ Function s
tupleFunc f (Tuple s a) g = f a (g s)

Function s は s -> _ ですが、これはモナドになります。いわゆる Reader モナドですね。s 型の大域変数を読み込める DSL です。Tuple s は s 型の大域変数を提供します。これはいわゆる Env コモナドになることが知られています。

簡単なプログラムを書いてみます。

program :: Int -> Int
program = do
  x <- (_ + 1)
  y <- (_ * 2)
  pure $ x + y

大域変数を s として (s + 1) + (s * 2) を計算するプログラムです。

インタプリタも書いてみましょう。これを実行するには大域変数 s を提供する必要があります。

interpreter :: Tuple Int (Int -> String)
interpreter = Tuple 10 \x -> "result: " <> show x

大域変数として 10 を提供しました。また、プログラムの実行結果を x として result: x という文字列に変換します。

あとは zap で実行をするだけです。

result :: String
result = zap tupleFunc interpreter program

これで resultT == "result: 31" となります。

このようにモナドでプログラムを記述し、それに Pairing するコモナドで解釈するという比喩が使えます。コモナドとモナドの Pairing は多くあることが知られているので、見ていきましょう。

Identity ⋈　Identity

もっとも単純な Paring です。

identity :: Identity ⋈ Identity
identity f (Identity a) (Identity b) = f a b

プログラムを書いてみます

program :: Identity Int
program = do
  x <- Identity $ 10
  y <- Identity $ 20
  pure $ x + y

Identity はモナドにこそなりますが、特に機能はありません。

interpreter :: Identity (Int -> String)
interpreter = Identity \x -> "result: " <> show x

インタプリタも特に何かする事はありません。出力をそのまま文字列に変換するだけです。

result :: String
result = zap identity interpreter program

これで result == "result: 30" となります。

Function s ⋈ Tuple s (Monoid s)

これは Tuple s ⋈ Function s の逆です。Tuple s は s が Monoid の時にいわゆる Write モナドになります。Function s は s が Monoid の時にいわゆる Traced コモナドになります。

funcTuple  :: forall s. Function s ⋈ Tuple s
funcTuple f g (Tuple s b) = f (g s) b

プログラムを書いてみましょう

program :: Tuple String Int
program = do
  x <- Tuple "x" $ 10
  y <- Tuple "y" $ 20
  pure $ x + y

"x" と "y" を書き込みつつ 10 + 20 を計算する Write モナドです

interpreter :: String -> Int -> String
interpreter s x = "log: " <> s <> ", result: " <> show x

インタプリタはログ s と実行結果 x を受け取り、"log: " <> s <> ", result: " <> show x という文字列を返します。

result :: String
result = zap funcTuple interpreter program

これで result == "log: xy, result: 30" となります。

f ⋈ g -> Free f ⋈ Cofree g

f と g がペアリングしているとき、モナド Free とコモナド Cofree によってそれらを拡張することができます。