本章我们将讨论在上一章附带引入的逻辑算子——条件句。回想一下，条件句就是形如“如果 $$a$$ 那么 $$c$$”的语句，我们现在记作 $$a\to c$$。逻辑学家称 $$a$$ 为该条件句的前件（antecedent），$$c$$ 为该条件句的后件（consequent）。我们还提到，关于条件句的一个最基本的推断是分离规则：$$a,a\to c/c$$。条件句是我们许多推理的重要基础。上一章就举过一个这方面的例子。不过，条件句却十分令人困惑。它们自逻辑学最早期开始就得到了研究。事实上，据一位古代评论家（Callimachus）说，甚至屋顶上的乌鸦也曾叫嚷着条件句。
让我们看看为什么——或者至少一个理由为什么——条件句是令人困惑的。如果你知道 $$a\to c$$，似乎你就能推出 $$\neg(a\land\neg c)$$（并非 $$a$$ 且 $$\neg c$$）。比如，假设有人通知你，如果你错过巴士，你就会迟到。你就能从中推出，你错过巴士而又不迟到为假。反过来，如果你知道 $$\neg(a\land\neg c)$$，似乎你就能从中推出 $$a\to c$$。比如，假设有人告诉你，你不会去看电影而不花钱（并非你去看电影且不花钱）。你就能推出，如果你去看电影，你就要花钱。
$$\neg(a\land\neg c)$$ 常被记作 $$a\supset c$$，称为实质条件句（material conditional）。这样，似乎 $$a\to c$$ 和 $$a\supset c$$ 意指同样的事。特别的，使用第 2 章的逻辑工具，它们有相同的真值表。作为一个简单练习，我请读者自行验证，该真值表如下：
| $$a$$ |
$$c$$ |
$$a\supset c$$ |
| $$T$$ |
$$T$$ |
$$T$$ |
| $$T$$ |
$$F$$ |
$$F$$ |
| $$F$$ |
$$T$$ |
$$T$$ |
| $$F$$ |
$$F$$ |
$$T$$ |
但这很奇怪。它意味着若 $$c$$ 在某个情形为真（第 1 和第 3 行），则 $$a\to c$$ 也为真。这不可能是对的。比如，堪培拉是澳大利亚首都，这是真的，但条件句“如果堪培拉不是澳大利亚首都，那么堪培拉是澳大利亚首都”似乎明显为假。类似的，该真值表向我们表明，若 $$a$$ 为假（第 3 和第 4 行），则 $$a\to c$$ 为真。但这也不可能是对的。条件句“如果悉尼是澳大利亚首都，那么布里斯班是澳大利亚首都”似乎也明显为假。哪里出问题了呢？
这些例子似乎表明，$$\to$$ 不是真值函数：$$a\to c$$ 的真值不由 $$a$$ 和 $$c$$ 的真值确定。“罗马在法国”和“北京在法国”都为假，但下面这句话为真：
如果意大利是法国的一部分，那么罗马在法国。
而下面这句话为假：
如果意大利是法国的一部分，那么北京在法国。
那么，条件句是如何工作的呢？
一种回答是使用上一章给出的可能世界工具。考虑上面两个条件句。在任何意大利真的被并入法国的可能情形中，罗马的确会在法国。但存在意大利被并入法国的可能情形，而这对中国毫无影响。因此，北京仍然不在法国。这提示我们，条件句 $$a\to c$$ 在某个情形 $$s$$ 中为真，只要 $$c$$ 在所有与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形中都为真；它为假，若 $$c$$ 在某个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形中为假。
这给了我们 $$\to$$ 一个看上去合理的解释。例如，它表明了为什么分离规则是有效的——至少在某个假设下。该假设是，我们把 $$s$$ 自身算作一个与 $$s$$ 相关的情形。这似乎是合理的，$$s$$ 中任何实际的情况当然是可能的情况。现在，假设 $$a$$ 和 $$a\to c$$ 在某个情形 $$s$$ 为真。那么，$$c$$ 在所有与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形中为真。但 $$s$$ 就是这样的一个情形（与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 在其中为真），因此 $$c$$ 在 $$s$$ 中为真，这正是我们要证的结果。
回到我们开头那个论证。我们现在就能看出为什么它不成立。该论证所依赖的推断是：
$$\dfrac{\neg(a\land\neg c)}{a\to c}$$
而这个推断不是有效的。例如，如果 $$a$$ 在某个情形 $$s$$ 为 $$F$$，这足以使得前提在 $$s$$ 为真。但这并没有告诉我们在与 $$s$$ 关联的可能情形中 $$a$$ 和 $$c$$ 会如何表现。完全有可能在其中一个可能情形，比方说 $$s'$$ 中，$$a$$ 为真而 $$c$$ 不为真，如图：
因此，$$a\to c$$ 在 $$s$$ 不为真。
我们早先谈到的那个例子怎么样呢（你被告知你不会去电影院而不花钱）？那个推断看上去难道不是有效的吗？假设你知道你不会去看电影而不花钱：$$\neg(g\land\neg m)$$。你真的就能得出结论说，如果你去看电影你就要花钱吗：$$g\to m$$？不一定。假设你不打算去看电影，即使那天晚上电影是免费的。（电视上有个节目有趣得多。）那么你知道，你会去看电影不为真（$$\neg g$$），于是你会去看电影且不花钱也不为真：$$\neg(g\land\neg m)$$1。现在你能推出如果你去看电影就要花钱吗？当然不能：那天可能是免费之夜。
要注意的是，当你处在经由被告知而得知前提为真的情形时，其他因素通常也在起作用。注意到这一点很重要。当有人告诉你 $$\neg(g\land\neg m)$$2 这样的事的时，他们一般不会基于他们知道 $$\neg g$$ 为真而这样做。（如果他们知道的话，告诉你关于这种情形的任何事通常都是没有意义的。）如果他们告诉你这样的事，那就是基于 $$g$$ 和 $$m$$ 之间有某种联系：你不可能有 $$g$$ 为真而 $$m$$ 不为真，而这正是那个条件句为真所需要的。因此，在你被告知这个前提的情况下，推出 $$g\to m$$ 通常是合理的；但并不是由所说的内容推出，而是由它被说出来了这一事实推理得到。
事实上，我们经常不加思索地正确作出这种推断。例如，假设我问别人，如何让我的电脑做这样那样的事，然后他们回答说，“书架上有一本手册”。我就可以推断出，那是一本电脑手册。这并不能从实际所说的推出。但除非那本手册是电脑手册，否则那个回答就是不相干的了，而人们一般不说不相干的话。这个推断并不是演绎推理。毕竟，那个人可以说那句话，而指的不是电脑手册。但这个推断仍然是一个极好的归纳推理，是通常被称作会话蕴含（conversational implicature）的一种。
我们刚看到的对条件句的解释似乎很成功——至少就我们看到的而言。不过，它也面临一些问题。这里是一个。考虑如下推断：
如果你去罗马，你就会在意大利。
如果你在意大利，你就在欧洲。
因此，如果你去罗马，你就会在欧洲。
如果 $$x$$ 大于 10，那么 $$x$$ 大于 5。
因此，如果 $$x$$ 大于 10 且小于 100，那么 $$x$$ 大于 5。
这些推断似乎完全是有效的。在目前的解释下，它们也确实有效。我们可以把第 1 个推断写成
$$1.\ \dfrac{a\to b\quad b\to c}{a\to c}$$
要看出它是有效的，假设前提在某个情形 $$s$$ 为真。那么 $$b$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形为真；同样，$$c$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$b$$ 为真的情形为真。因此，$$c$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形为真。即，$$a\to c$$ 在 $$s$$ 为真。
我们可以把第 2 个推断写成：
$$2.\ \dfrac{a\to c}{(a\land b)\to c}$$
要看出它是有效的，假设前提在某个情形 $$s$$ 为真。那么 $$c$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形为真。现在，假设 $$a\land b$$ 在某个与 $$s$$ 关联的情形为真，那么 $$a$$ 在该情形当然也为真，因此 $$c$$ 也为真。因此，$$(a\land b)\to c$$ 在 $$s$$ 为真。
目前都很好。问题在于，有些推断在形式上与前面两个推断完全相同，却似乎是无效的。例如，假设有一场首相选举，只有两个候选人，琼斯和现任首相史密斯。现在考虑如下推断：
如果史密斯在选举前死了，琼斯就会赢得选举。
如果琼斯赢得选举，史密斯就会退休然后领取退休金。
因此，如果史密斯在选举前死了，她就会退休然后领取退休金。
这是一个恰好形如 $$1$$ 的推断。但似乎很明显存在某个情形使得两个前提都为真，而结论不为真——除非我们在考虑某个怪异的情形，其中政府会在人死之后继续发放退休金！
或者考虑下面这个关于史密斯的推断：
如果史密斯从很高悬崖的顶上跳下，她就会摔死。
因此，如果史密斯从很高悬崖的顶上跳下且背了降落伞，她就会摔死。
这是一个形如 $$2$$ 的推断。不过同样，似乎很明显存在前提为真而结论不为真的情形。
关于这种状况有什么要说的呢？我留给读者自己思考。尽管条件句对我们如何进行大多数推理至关重要，但条件句逻辑仍然是逻辑学中最有争议的领域之一。即便鸟儿不再吵嚷着条件句，逻辑学家肯定还在为此争论不休。
本章要点
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$$a\to b$$ 在某个情形 $$s$$ 中为真，当且仅当 $$b$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形中为真。
