Cao10.tex

\begin{tiny}(Cao10)\end{tiny} à compléter
\begin{enumerate}
  \item 
  \item
  \item 
  \item L'équation proposée admet des solutions si et seulement si il existe $x\in E$ tel que
\[
  \trans f(f(x) - y) = 0_E
  \Leftrightarrow
  f(x) - y \in \ker \trans f = (\Im f)^\bot. 
\]
Introduisons la projection orthogonale $p$ sur $\Im f$:
\[
  y = \underset{ \in \Im f}{\underbrace{p(y)}} + \underset{ \in (\Im f)^\bot}{\underbrace{y - p(y)}}.
\]
On en déduit
\[
  f(x) - y \in (\Im f)^\bot
  \Leftrightarrow
  f(x) = p(y).
\]
Cette équation admet des solutions car $p(y) \in \Im f$.\newline
Soit $x_0$ une solution. Alors, pour tout $x \in E$,
\begin{multline*}
  \Vert f(x) - y \Vert ^2
  = \Vert \underset{ \in \Im f}{\underbrace{f(x) - f(x_0)}} + \underset{ \in (\Im f)^\bot}{\underbrace{f(x_0) - y}} \Vert ^2 \\
  =  \Vert \underset{ \in \Im f}{\underbrace{f(x) - f(x_0)}}\Vert ^2 + \Vert \underset{ \in (\Im f)^\bot}{\underbrace{f(x_0) - y}} \Vert ^2\\
  \geq \Vert \underset{ \in (\Im f)^\bot}{\underbrace{f(x_0) - y}} \Vert ^2.
\end{multline*}


  \item On complète une base orthonormée du sous-espace stable $A$ pour former une base orthonormée $\mathcal{U}$ de $E$. La stabilité se traduit par un bloc nul.
\begin{displaymath}
M = \Mat_{\mathcal{U}}(f)=
\begin{pmatrix}
  U & V \\ 0 & W
\end{pmatrix}
\end{displaymath}
Il s'agit de montrer que le bloc $V$ est nul. Traduisons le caractère normal
\begin{multline*}
\trans M =
\begin{pmatrix}
  \trans U & 0 \\ \trans V & \trans W
\end{pmatrix}, \;
M \trans M = M \trans M \Rightarrow\\
  U\trans U + V\trans V =\trans U U
\end{multline*}

en considérant seulement le bloc en haut à gauche. On termine en prenant la trace. Il reste seulement
\begin{displaymath}
  \tr V\trans V = 0
\end{displaymath}
La somme des carrés des coefficients de $V$ est nulle, le bloc $V$ est nul.
\end{enumerate}