DP总结
$线性DP$
-
-
定义:
-
-具有线性”阶段”划分的$DP$被称为线性$DP$。
-
-经典模型
-
-$LIS$ , $LCS$ , $LCIS$(最长公共上升子序列) , $最长公共子序列$ , $数字三角形$。
-
-例题：
-
-
LCS
题意：
-
-求两个字符串中字典序最小的$LCS$。
-方法:
-
用 $vector$ 记录下每一个状态下的答案。
+DP总结
+\(线性DP\)
+-
+
定义:
++
具有线性"阶段"划分的\(DP\)被称为线性\(DP\)。
+
+经典模型
++
\(LIS\) , \(LCS\) , \(LCIS\)(最长公共上升子序列) , \(最长公共子序列\) , \(数字三角形\)。
+
+例题：
+-
+
LCS
+题意：
++
-求两个字符串中字典序最小的\(LCS\)。
-最长上升子序列(LIS)
题意：
+
方法:
++
用 \(vector\) 记录下每一个状态下的答案。
+
+最长上升子序列(LIS)
+题意：
+
--
-
- 给定一个长为 n 的序列 $a_i$，求这个序列的最长单调上升子序列长度。 -
- 要求 $O(n log_n)$ 。 +
- 给定一个长为 n 的序列 \(a_i\)，求这个序列的最长单调上升子序列长度。 +
- 要求 \(O(n log_n)\) 。
方法：
+
方法：
+
-在长度一定的情况下，若结尾元素更小，那么最终答案也就更优。
-所以我们维护一个数组表示当前的$LIS$，每一次插入当前元素。
+所以我们维护一个数组表示当前的\(LIS\)，每一次插入当前元素。
code :
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
using namespace std;
const int N=1e6 +3;
int n,m,a[N],f[N];
signed main()
{
cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(int i=1;i<=n;i++) *upper_bound(f+1,f+n+1,a[i])=a[i];
int res=1; while(f[res]!=f[0]) res++;
cout<<res-1<<endl;
return 0;
}
-
+
code :
+1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
using namespace std;
const int N=1e6 +3;
int n,m,a[N],f[N];
signed main()
{
cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(int i=1;i<=n;i++) *upper_bound(f+1,f+n+1,a[i])=a[i];
int res=1; while(f[res]!=f[0]) res++;
cout<<res-1<<endl;
return 0;
}
+
二维平面上的$DP$ 与 状态压缩$DP$
-
-
怎样判断？
+
二维平面上的\(DP\) 与 状态压缩\(DP\)
+-
+
怎样判断？
+二维平面看题面。
-状态压缩的$n\le 22$。
+状态压缩的\(n\le 22\)。
+
+例题：
+-
+
Grid 2
+题目：
++
-给一个 H×W 的网格，每一步只能向右或向下走，给出 \(n\) 个坐标，这些坐标对应的位置不能经过，求从左上角 (1,1)走到右下角 (H,W) 的方案数，答案对 \(10^9+7\) 取模。
-例题：
-
-
Grid 2
题目：
-
-给一个 H×W 的网格，每一步只能向右或向下走，给出 $n$ 个坐标，这些坐标对应的位置不能经过，求从左上角 (1,1)走到右下角 (H,W) 的方案数，答案对 $10^9+7$ 取模。
-思路：
-
首先对于 $f_{i,j}\ (1\le i\le H,1\le j\le W)$ 可行性显然，但空间不够。我们只能对着 $n$ 个坐标开数组。
-我们设方程 $f_i$ 表示从 (1,1) 做到第i个坐标，且只经过第$i$个坐标的方案总数。
+思路：
++
首先对于 \(f_{i,j}\ (1\le i\le H,1\le j\le W)\) 可行性显然，但空间不够。我们只能对着 \(n\) 个坐标开数组。
+我们设方程 \(f_i\) 表示从 (1,1) 做到第i个坐标，且只经过第\(i\)个坐标的方案总数。
那么，我们尝试使用容斥原理进行转移
-
-
- 从 (1,1) 到 ($xi,y_i$) 的方案数是 ${C{x_i-1+y_i-1}^{x_i -1}}$ -
- 从某一个坐标转移过来的方案数是 $\sum C_{x_i-x_j+y_i-y_j}^{x_i -x_j} $ +
- 从 (1,1) 到 (\(x_i,y_i\)) 的方案数是 \({C_{x_i-1+y_i-1}^{x_i -1}}\) +
- 从某一个坐标转移过来的方案数是 $C_{x_i-x_j+y_i-y_j}^{x_i -x_j} $
+Matching
+题目：
++
-给定 N，表示有 N 个男生和 N 个女生，再给你一个矩阵 a，如果\(a_{i,j}\) 等于 1，表示 i 这个男生和 j 这个女生可以匹配成一对，否则不能。 问要匹配 N 对的方案数。答案对 \(10^9+7\) 取模。
-Matching
题目：
-
-给定 N，表示有 N 个男生和 N 个女生，再给你一个矩阵 a，如果$a_{i,j}$ 等于 1，表示 i 这个男生和 j 这个女生可以匹配成一对，否则不能。 问要匹配 N 对的方案数。答案对 $10^9+7$ 取模。
-思路：
+
思路：
+
-状压男生，枚举女生
-
-
+
+
区间$DP$
都离不开三重循环: $\sum\limits{长度} \sum\limits{左端点} \sum\limits_{转移的断点} f…$
--
-
石子合并
题目：
+
区间\(DP\)
+ 都离不开三重循环: \(\sum\limits_{长度} \sum\limits_{左端点} \sum\limits_{转移的断点} f...\)
+-
+
石子合并
+题目：
+
-在一个圆形操场的四周摆放 N 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆，规定每次只能选相邻的 2 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
试设计出一个算法,计算出将 N* 堆石子合并成 1 堆的最小得分和最大得分。
思路：
+
思路：
+
-令
dp[i][j]表示区间[i,j]的最小价值。不妨从终点考虑问题，即结果为两个子区间合并的最小值再加上合并需要的代价即可。
枚举两个子区间，即枚举这个区间的中间点k，使这个区间被分为
[i,k]和[k+1,j]两个区间，取一遍最小值加上合并的即为当前区间所求。至于合并的代价，用前缀和即可。
所以
-dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])
-Deque
题目：
-
给定 N 个数的序列 $A$。
+
+Deque
+题目：
++
-给定 N 个数的序列 \(A\)。
A 和 B 轮流取数，每个人每次可以从序列头部或者尾部取走一个数（直到序列为空）。
A 和 B 都希望自己取得的数的总和尽可能大。
假设最优策略下，A 取得的数的总和是 X，B 取得的数的总和是 Y， 请输出 X-Y。
思路：
-
显然游戏过程中剩下的数必然是连续的一段。设 $f_{i,j}$ 表示剩下下标为 $[i,j]$ 的数时，先手（并非当前的先手而是开始时的先手，下同）能取得的最大分数差。
+思路：
++
-显然游戏过程中剩下的数必然是连续的一段。设 \(f_{i,j}\) 表示剩下下标为 \([i,j]\) 的数时，先手（并非当前的先手而是开始时的先手，下同）能取得的最大分数差。
分两种情况讨论：
-
-
- 已经取走的数为偶数个，此时先手取，$f{i,j}$=$max$ ($f{i+1,j}+ai$,$f{i,j-1}$,$f_{i,j-1}+a_j$) -
- 已经取走的数为奇数个，此时后手取，$f{i,j}$=$max$ ($f{i+1,j}-ai$,$f{i,j-1}$,$f_{i,j-1}-a_j$) +
- 已经取走的数为偶数个，此时先手取，\(f_{i,j}\)=\(max\) (\(f_{i+1,j}+a_i\),\(f_{i,j-1}\),\(f_{i,j-1}+a_j\)) +
- 已经取走的数为奇数个，此时后手取，\(f_{i,j}\)=\(max\) (\(f_{i+1,j}-a_i\),\(f_{i,j-1}\),\(f_{i,j-1}-a_j\))
+
换根$DP$
本质上只是把序列变成了树
--
-
Subtree
题目：
-
有一个 n 个节点的树，对一些节点染色，使得所有被染色的节点是一个连通块。求对于 $1,2,3,…,n$每个节点，该节点被染色的方案个数。所有答案对 M 取模。
+换根\(DP\)
+ 本质上只是把序列变成了树
+-
+
Subtree
+题目：
++
-有一个 n 个节点的树，对一些节点染色，使得所有被染色的节点是一个连通块。求对于 \(1,2,3,...,n\)每个节点，该节点被染色的方案个数。所有答案对 M 取模。
思路：
-
-我们设$p_i$表示以$i$为跟的子树中的可行方案数,$q_i$表示$i$的父节点中除了$i$的方案数。
-那么，有$ans_i=(q_i+1)*p_i$。
-
+
思路：
++
我们设\(p_i\)表示以\(i\)为跟的子树中的可行方案数,\(q_i\)表示\(i\)的父节点中除了\(i\)的方案数。
+那么，有\(ans_i=(q_i+1)*p_i\)。
+
$DP$优化
根据方程运用相应的数据结构即可。
+\(DP\)优化
+ 根据方程运用相应的数据结构即可。
