dynamic-programming.md

## **1. Introduction：DP（Dynamic Programming）** {#1-introductiondpdynamic-programming}

1. **定义** 
   * 解决复杂问题的一种方法。将多阶过程分解为一些列单阶段问题，逐个求解，最后结合起来以解决这类过程优化问题。
   * 同时，将这些子问题的解保存起来，如果下一次遇到了相同的子问题，则不需要重新计算子问题的解。
2. **DP主要用于解决含有以下两点特性的问题**

   * 最优子结构：最优解能被分解为子问题，最优应用原则
   * 覆盖子问题：子问题多次出现，子问题的解可以被缓存和重复利用

3. MDPs满足上述两条性质

   * 贝尔曼等式给出递归分解形式，可以切分成子问题。
   * 值函数存储和重复利用可行解，即保存了子问题的解**=>**可以通过DP求解MDPs

4. 应用：用于MDP中的决策问题

针对MDP，切分的子问题就是在每个状态下应该选择哪个action。同时，这一时刻的子问题取决于上一时刻的子问题选择了哪个action。

![](/assets/mdp-dp1.png)

注意：当已知MDPs的状态转移矩阵时，环境模型就已知了，此时可看为planning问题。

## **2. Policy Evaluation** {#2-policy-evaluation}

基于当前的policy计算出每个状态的value function。

1. **Iterative Policy Evaluation，策略迭代估计**

   * 问题：评估一个给定的策略
   * 解决方法：迭代，贝尔曼期望备份，
     v1→v2→⋯→vπ
   * 采用同步备份

## **3. Policy Iteration** {#3-policy-iteration}

解决过程分为2步

1. **policy evaluation**  
   基于当前的policy计算每个状态的value function

2. **Policy Improvement**  
   基于当前的value function，采用贪心算法来找到当前最优秀的policy

![](/assets/mdp-dp2.png)

eg： Given a policyπ

evaluate the policy π：vπ\(s\)=E\[Rt+1+γRt+2+⋯\|St=s\]

improve the policy by acting greedy with respect to vπ：π′=greedy\(vπ\)

注意：**该策略略迭代过程总是会收敛到最优策略π∗。**



## **4. Value Iteration** {#4-value-iteration}

1. **Value Iteration in MDPs**  
   最优化原理：当且仅当任何从状态s能达到的状态s’都能在当前状态下取得最优的value时，那么状态s也能在当前的policy下获得最优的value。即vπ\(s\)=v∗\(s\)。

   任何最优策略都可以被细分为两部分：

   * 最优的第一个action A∗
   * 接下来后续状态s’下的最优策略

2. **Deterministic Value Iteration**  
   如果已知子问题的最优解v∗\(s′\)，则可以通过第一个Bellman Optimality Equation将v∗\(s\)也求出来，因此从终点向起点推导就可以推出所有的状态最优值。

![](/assets/deterministic-value-iteration.png)

Value Iteration通过迭代的方法，通过这一步的vk\(s′\)更新下一步的vk+1\(s\)，不断迭代，最终收敛到最优的v∗。



**\*注意：中间生成的value function不对应任何policy。**

1. **Policy Iteration和Value Iteration有什么本质区别？为什么一个叫policy iteration，一个叫value iteration呢？**
 
   * 原因其实很好理解，policy iteration使用bellman方程来更新value，最后收敛的value 即vπ是当前policy下的value值（所以叫做对policy进行评估），目的是为了后面的policy improvement得到新的policy。
   * 而value iteration是使用bellman 最优方程来更新value，最后收敛得到的value即v∗就是当前state状态下的最优的value值。因此，只要最后收敛，那么最优的policy也就得到的。因此这个方法是基于更新value的，所以叫value iteration。
   * 从上面的分析看，value iteration较之policy iteration更直接。不过问题也都是一样，需要知道状态转移函数p才能计算。本质上依赖于模型，而且理想条件下需要遍历所有的状态，这在稍微复杂一点的问题上就基本不可能了。
2. 针对MDPs要解决的2个问题，有如下解决办法：
   * 针对prediction
     目标是在已知policy下得到收敛的value function，因此针对问题不断迭代计算Bellman Expectation Equation就足够了。
   * 针对control
     需要同时获得最优的policy，那么在Iterative policy evaluation基础上加入一个选择policy的过程就行。此外，通过value iteration在得到最优的value function后推导出最优policy。

   整理：

   | 问题 | 贝尔曼方程 | 解决算法 |
   | :--- | :--- | :--- |
   | Prediction | Bellman Expectation Equation | Iterative Policy Evaluation |
   | Control | Bellman Expectation Equation & Greedy Policy Improvement | Policy Iteration |
   | Control | Bellman Optimality Equation | Value Iteration |

  
   **5. DP的一些扩展**

   1. **Asynchronous Dynamics Programming 异步动态规划**
      那么上面的算法的核心是更新每个状态的value值。那么可以通过运行多个实例同时采集样本来实现异步更新。而基于异步更新的思想，DeepMind出了一篇不错的paper：Asynchronous Methods for Deep Reinforcement Learning该文对于Atari游戏的效果得到大幅提升。
   2. **Full-Width Backups &Sample Backups**
   3. **Approximate DP**

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   ## **6. Contraction Mapping 压缩映射** {#6-contraction-mapping-压缩映射}

   压缩映射定理为本节的主要数学依据，解释了为何value iteration收敛于v∗，为何Policy Evaluation收敛于vπ，为何Policy Iteration收敛于v∗。