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# Grenzwerte {#sec-grenzwerte}
\normalsize
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit für die probabilistische Modellbildung
und Datenanalyse grundlegenden Grenzwertaussagen zu Folgen von Zufallsvariablen.
Dabei liefern die *Gesetze der Großen Zahlen* (@sec-gesetze-der-grossen-zahlen) zunächst
eine grundlegende Begründung für die Mittelwertbildung im Rahmen der probabilistischen
Inferenz. Die *Zentralen Grenzwertsätze* liefern dann die Begründung für
die weite Verbreitung von Normalverteilungsannahmen zu Störvariablen
im Rahmen der probabilistischen Modellformulierung (@sec-zentrale-grenzwertsaetze).
Die mathematische Tiefe dieser Grenzwertaussagen kann in dieser einführenden
Betrachtung nicht ausgeschöpft werden, so dass wir uns mit zahlreichen Vereinfachungen
begnügen müssen. Ein minimales Vorwissen zu Funktionenfolgen und ihren Grenzfunktionen
liefert @sec-folgen-grenzwerte-stetigkeit.
## Gesetze der Großen Zahlen {#sec-gesetze-der-grossen-zahlen}
Es gibt ein *Schwaches Gesetz der Großen Zahlen* und ein *Starkes Gesetz der Großen Zahlen*.
Intuitiv besagen beide Gesetze, dass sich das Stichprobenmittel von unabhängigen
und identisch verteilten Zufallsvariablen für eine große Anzahl an Zufallsvariablen
dem Erwartungswert der zugrundeliegenden Verteilung nähert. Das Schwache und das
Starke Gesetz der Großen Zahlen unterscheiden sich in Hinblick auf die zu
ihrer Formulierung benutzen Formen der *Konvergenz von Zufallsvariablen*. Das
Schwache Gesetz basiert auf der *Konvergenz in Wahrscheinlichkeit*. Das Starke
Gesetz basiert auf der *fast sicheren Konvergenz*. Wir begnügen uns hier mit
dem Begriff der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und damit dem Schwachen Gesetz
der Großen Zahlen.
:::{#def-konvergenz-in-wahrscheinlichkeit}
## Konvergenz in Wahrscheinlichkeit
Eine Folge von Zufallsvariablen $\xi_1,\xi_2,...$ *konvergiert gegen eine
Zufallsvariable $\xi$ in Wahrscheinlichkeit*, wenn für jedes noch so kleine
$\epsilon > 0$ gilt, dass
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(|\xi_n - \xi| < \epsilon) = 1 \Leftrightarrow
\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(|\xi_n - \xi| \ge \epsilon) = 0.
\end{equation}
Die Konvergenz von $\xi_1,\xi_2,....$ gegen $\xi$ in Wahrscheinlichkeit wird
geschrieben als
\begin{equation}
\xi_n\xrightarrow[n \to \infty]{\mbox{P}} \xi.
\end{equation}
:::
$\xi_n\xrightarrow[n \to \infty]{\text{P}} \xi$ heißt also, dass sich die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass $\xi_n$ in dem zufälligen Intervall
\begin{equation}
]\xi-\epsilon, \xi+\epsilon[
\end{equation}
liegt, unabhängig davon, wie klein dieses Intervall sein mag, $1$ nähert, wenn
$n$ gegen Unendlich geht. Intuitiv heißt das, dass sich für $n \to \infty$ und
eine konstante Zufallsvariable $\xi := a$ die Verteilung von $\xi_n$ mehr und
mehr um $a$ konzentriert, wenn $n$ gegen Unendlich strebt. Mithilfe der Konvergenz
in Wahrscheinlichkeit formuliert man das Schwache Gesetz der Großen Zahlen wie folgt.
:::{#thm-schwaches-gesetz-der-großen-zahlen}
## Schwaches Gesetz der Großen Zahlen
$\xi_1,...,\xi_n$ seien unabhängig und gleichverteilte Zufallsvariablen mit
$\mathbb{E}(\xi_i) = \mu$ für alle $i = 1,...,n$. Weiterhin bezeichne
\begin{equation}
\bar{\xi}_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \xi_i
\end{equation}
das Stichprobenmittel der $\xi_i, i = 1,...,n$. Dann konvergiert $\bar{\xi}_n$ in
Wahrscheinlichkeit gegen $\mu$,
\begin{equation}
\bar{\xi}_n \xrightarrow[n \to \infty]{\mbox{P}} \mu.
\end{equation}
:::
Für einen Beweis dieses Theorems verweisen wir auf die weiterführende Literatur,
so zum Beispiel auf Abschnitt 5.1 in @georgii2009. Intuitiv heißt
\begin{equation}
\bar{\xi}_n \xrightarrow[n\to\infty]{\mbox{P}} \mu
\end{equation}
also, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Stichprobenmittel nahe dem Erwartungswert
der zugrundeliegenden Verteilung liegt, sich 1 nähert, wenn $n$ gegen Unendlich strebt.
**Simulation**
Wir betrachten den Fall von u.i.v. normalverteilten Zufallsvariablen
$\xi_1,...,\xi_n \sim N(0,1)$. @fig-schwaches-gesetz A zeigt Realisationen der
von Stichprobenmitteln $\bar{\xi}_n$ als Funktion von $n$. Man erkennt, dass für
größeres $n$ mehr Realisierungen von $\bar{\xi}_n$ in der Nähe des Erwartungswerts
der $\xi_i, i = 1,...,n$ liegen. Basierend auf diesen Stichprobenmittelrealisationen
zeigt @fig-schwaches-gesetz B Schätzungen der Wahrscheinlichkeit
$\mathbb{P}(|\bar{\xi}_n - \mu| \ge \epsilon)$ als Funktionen von $n$ und $\epsilon$.
Für ein großes $\epsilon$ reicht ein geringes $n$ aus um die Wahrscheinlichkeit
für eine absolute Abwecihung des Stichprobenmittels vom Erwartungswert klein werden
zu lassen, für ein kleineres $\epsilon$ ist dafür ein größeres $n$ nötig. In jedem
Fall sinken die Wahrscheinlichkeiten jedoch mit größerem $n$.
```{r, eval = F, echo = F}
# Modellformulierung
s_max = 100 # number of simulations
s_all = 1:s_max # simulation index vector
n_max = 200 # maximal n number of variables
n_all = 1:n_max # number of variables vector
mu = 0 # expectation parameter
sigsqr = 1 # variance parameter
epsilon = c(1,.5,.25,.125)
# Stichprobenmittelwertverteilung
X_bar = matrix(rep(NaN, s_max*n_max), nrow = s_max) # sample mean array
for(s in s_all){ # simulation iterations
for(n in n_all){ # sample size iterations
X_bar[s,n] = mean(rnorm(n,mu,sigsqr))}} # sample mean \xi_n
# geschätzte Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Stichprobenmittel
P_hat = cbind(matrix(colMeans(abs(X_bar) > epsilon[1])),
matrix(colMeans(abs(X_bar) > epsilon[2])),
matrix(colMeans(abs(X_bar) > epsilon[3])),
matrix(colMeans(abs(X_bar) > epsilon[4])))
# Abbildungsparameter
library(latex2exp)
pdf(file = "./_figures/207-schwaches-gesetz.pdf", width = 10, height =5)
par(
family = "sans",
mfcol = c(1,2),
pty = "m",
bty = "l",
lwd = 1,
las = 1,
mgp = c(2,1,0),
xaxs = "i",
yaxs = "i",
cex = 1.2,
font.main = 1,
cex.main = 1.1)
# Graphen
matplot(
n_all,
t(X_bar[1:2,]),
type = "p",
pch = 1,
lwd = 1,
col = c("gray"),
ylab = " ",
xlim = c(0,n_max),
ylim = c(-1.5,1.5),
xlab = "n",
main = "Stichprobenmittelrealisationen")
legend(
140,
1.55,
TeX("$\\bar{\\xi}_n$"),
lty = NA,
pch = 1,
cex = 1,
col = c("gray"),
lwd = 2,
x.intersp = -.2,
y.intersp = 1.5,
bty = "n")
mtext(LETTERS[1], adj=0, line=2.1, cex = 2, at = -20)
matplot(
n_all,
P_hat,
type = "l",
lty = 1,
lwd = 2,
col = c("gray20","gray40","gray60","gray80"),
ylab = " ",
xlim = c(0,n_max),
ylim = c(-.01,1),
xlab = "n",
main = "Wahrscheinlichkeitschätzungen")
legend(
100,
1.00,
c(TeX("$\\epsilon = 1.000$"),
TeX("$\\epsilon = 0.500$"),
TeX("$\\epsilon = 0.250$"),
TeX("$\\epsilon = 0.125$")),
lty = 1,
cex = .8,
col = c("gray20","gray40","gray60","gray80"),
lwd = 2,
x.intersp = .2,
y.intersp = 2,
bty = "n")
mtext(LETTERS[2], adj=0, line=2.1, cex = 2, at = -20)
dev.off()
```
![Simulation des schwachen Gesetz der Großen Zahlen.](./_figures/207-schwaches-gesetz){#fig-schwaches-gesetz fig-align="center" width=100%}
## Zentrale Grenzwertsätze {#sec-zentrale-grenzwertsaetze}
Die Zentralen Grenzwertsätze besagen intuitiv, dass die Summe von unabhängigen
Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null *asymptotisch*, also für unendlich
viele Zufallsvariablen, normalverteilt mit Erwartungswertparameter Null ist.
Modelliert man eine beliebige Messgröße $\upsilon$ also als Summe eines
deterministischen Einflusses $\mu$ und der Summe
\begin{equation}
\varepsilon := \sum_{i=1}^n \xi_i
\end{equation}
einer Vielzahl von unabhängigen Zufallsvariablen $\xi_i, i = 1,...,n$, die
unbekannte Störeinflüsse modellieren sollen, so ist für großes $n$ die Annahme
$$
\upsilon = \mu + \varepsilon \mbox{ mit } \varepsilon \sim N(0,\sigma^2)
$$ {#eq-standardmodell}
mathematisch gerechtfertigt. Wie wir später sehen werden, liegt die Annahme
in Gleichung @eq-standardmodell einer großen Vielzahl von probabilistischen
Modellen zugrunde.
Formal werden verschiedene Formen von Zentralen Grenzwertsätzen, je nach
Ausgestaltung der zugrundeliegenden Annahmen und ihrer Beweisführung unterschieden.
In der sogenannten *Lindenberg und Lévy Form* des Zentralen Grenzwertsatzes werden
unabhängig und identische Zufallsvariablen vorausgesetzt. In der *Liapunov
Form* dagegen werden nur unabhängige Zufallsvariablen voraussetzt. In beiden
Formulierungen des Zentralen Grenzwertsatzes ist die betrachtete Konvergenz
von Zufallsvariablen die *Konvergenz in Verteilung*, welche wir zunächst einführen.
:::{#def-konvergenz-in-verteilung}
## Konvergenz in Verteilung
Eine Folge $\xi_1,\xi_2,...$ von Zufallsvariablen \textit{konvergiert in Verteilung
gegen eine Zufallsvariable $\xi$}, wenn
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} P_{\xi_n}(x) = P_\xi(x)
\end{equation}
für alle $\xi$ an denen $P_\xi$ stetig ist.
Die Konvergenz in Verteilung von $\xi_1,\xi_2,...$ gegen $\xi$ wird geschrieben als
\begin{equation}
\xi_n\xrightarrow[n\to \infty]{\text{D}} \xi.
\end{equation}
Gilt $\xi_n\xrightarrow[n\to \infty]{\text{D}} \xi$, dann heißt die Verteilung von
$\xi$ die \textit{asymptotische Verteilung der Folge $\xi_1,\xi_2,...$}.
:::
Die Konvergenz in Verteilung ist also eine Aussage zur Konvergenz von Funktionenfolgen,
speziell von KVFen. Ohne Begründung merken wir an, dass die oben betrachtete Konvergenz
in Wahrscheinlichkeit die Konvergenz in Verteilung impliziert. Wir geben nun
zunächst den Zentralen Grenzwertsatz nach Lindenberg und Lévy an.
:::{#thm-zentraler-grenzwertsatz-nach-lindenberg-und-levy}
## Zentraler Grenzwertsatz nach Lindenberg und Lévy
$\xi_1,...,\xi_n$ seien unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit
\begin{equation}
\mathbb{E}(\xi_i) := \mu \mbox{ und }
\mathbb{V}(\xi_i) := \sigma^2 > 0
\mbox{ für alle } i = 1,....,n.
\end{equation}
Weiterhin sei $\zeta_n$ die Zufallsvariable definiert als
\begin{equation}
\zeta_n := \sqrt{n}\left(\frac{\bar{\xi}_n - \mu}{\sigma}\right).
\end{equation}
Dann gilt für alle $z \in \mathbb{R}$
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} P_{\zeta_n}(z) = \Phi(z),
\end{equation}
wobei $\Phi$ die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
:::
Wir zeigen an späterer Stelle, dass damit für $n\to\infty$ auch gilt, dass
$$
\sum_{i=1}^n \xi_i \sim N(\mu, n\sigma^2)
\mbox{ und }
\bar{\xi}_n \sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
$$ {#eq-generalisierung-zentraler-grenzwertsatz-lindenberg-levy}
```{r, eval = F, echo = F}
# Abbildungsparameter
pdf(file = "./_figures/207-lindenberg-levy.pdf", width = 15, height = 5)
library(latex2exp)
par(
family = "sans",
mfcol = c(1,3),
pty = "m",
bty = "l",
lwd = 1,
las = 1,
mgp = c(2,1,0),
xaxs = "i",
yaxs = "i",
cex = 1.2,
font.main = 1,
cex.main = 1.3)
# Modellformulierung
s_max = 1e3 # number of samples
s_all = 1:s_max # simulation index vector
n_all = c(2e0,2e2) # number of variables vector
k = 3 # chi^2 variable parameter
mu = k # expectation
sigsqr = 2*k # variance
x_min = -4 # minimum Z variable value
x_max = 4 # maximum Z variable value
x_res = 1e3 # Z space resolution
x = seq(x_min,x_max,len = x_res) # Z space
px = dnorm(x,0,1) # standard normal density
Px = pnorm(x,0,1) # standard normal cumulative density
Y = matrix(rep(NaN, s_max*length(n_all)), nrow = s_max) # standardized sample mean array
# Standardisierte Stichprobenmittel
for(n in seq_along(n_all)){ # sample size iteration
for(s in s_all){ # simulation iterations
X = rchisq(n_all[n],k) # sample
X_n = mean(X) # sample mean
Y[s,n] = sqrt(n_all[n])*(X_n - mu)/(sqrt(sigsqr))} # standardized sample mean
# Histogramm und analytische Dichte bei kleinem n
hist(
Y[,n],
breaks = 30,
col = "gray90",
prob = TRUE,
xlim = c(x_min, x_max),
xlab = "",
ylab = "",
ylim = c(0,0.6),
main = sprintf("n = %d", n_all[n]))
lines(
x,
px,
lwd = 2,
col = "darkorange")}
# KVF und empirische KVFen
plot(
x,
Px,
col = "darkorange",
ylim = c(-.1,1.1),
xlab = "",
ylab = "")
lines(
ecdf(Y[,1]),
pch = NA,
col = "Gray70",
lwd = 2,
lty = 1)
lines(
ecdf(Y[,2]),
pch = NA,
col = "Black",
lwd = 2,
lty = 1)
legend(
-4,
1,
c(TeX("$\\Phi(z)"),
TeX("$\\hat{P}_{\\zeta_n}(z),\\, n = 2$"),
TeX("$\\hat{P}_{\\zeta_n}(z),\\, n = 200$")),
lty = 1,
cex = .9,
col = c("darkorange", "Gray70", "Black"),
lwd = 2,
x.intersp = 0.3,
y.intersp = 1.0,
seg.len = .5,
bty = "n")
dev.off()
```
**Simulation**
Wir betrachten den Fall von u.i.v. $\chi^2$-Zufallsvariablen
$\xi_1,...,\xi_n \sim \chi^2(3)$. Offenbar ist die funktionale Form der
$\chi^2(3)$-Verteilung von der Standardnormalverteilung recht verschieden,
insbesondere nehmen $\chi^2$-Zufallsvariablen mit von Null
verschiedener Wahrscheinlichkeit nur nicht-negative Werte an (vgl. @sec-wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen)
Nichtsdestotrotz resultiert ihre standardisierte Summe asymptotisch in einer
Normalverteilung, wie in @fig-lindenberg-levy visualisiert. Dazu nutzen wir
auf Ebene der Implementation die Tatsache, für die $\chi^2$-Zufallsvariablen
$\xi_i, i = 1,...,n$ mit Freiheitsgradparameter $3$ bekanntlich gilt (vgl. @sec-erwartungswert und @sec-varianz-und-standardabweichung)
\begin{equation}
\mathbb{E}(\xi_i) = 3 \mbox{ und }\mathbb{V}(\xi_i) = 6
\end{equation}
Die Abbildungen in @fig-lindenberg-levy A zeigen Histogrammschätzer der
Wahrscheinlichkeitsdichte von
\begin{equation}
\zeta_n := \sqrt{n}\left(\frac{\bar{\xi}_n - \mu}{\sigma}\right)
\end{equation}
basierend auf 1000 Realisationen von $\zeta_n$ für $n = 2$ und $n = 200$,
sowie die WDF von $N(0,1)$. Offenbar ist die Verteilung der Realisiationen
von $\zeta_2$ der Standardnormalverteilung noch sehr unähnlich, wohingegen
sich die Verteilung der Realisationen von $\zeta_{200}$ der Standardnormalverteilung
schon annähert. @fig-lindenberg-levy B zeigt die entsprechenden geschätzten
KVFen über die @thm-zentraler-grenzwertsatz-nach-lindenberg-und-levy formal
eine Aussage trifft.
![Simulation des Zentralen Grenzwertsatzes nach Lindenberg und Lévy.](./_figures/207-lindenberg-levy){#fig-lindenberg-levy fig-align="center" width=100%}
:::{#thm-zentraler-grenzwertsatz-nach-liapounov}
## Zentraler Grenzwertsatz nach Liapounov
$\xi_1,...,\xi_n$ seien unabhängige aber nicht notwendigerweise identisch verteilten Zufallsvariablen mit
\begin{equation}
\mathbb{E}(\xi_i) := \mu_i \mbox{ und }
\mathbb{V}(\xi_i) := \sigma^2_i > 0
\mbox{ für alle } i = 1,....,n.
\end{equation}
Weiterhin sollen für $\xi_1,...,\xi_n$ folgende Eigenschaften gelten:
\begin{equation}
\mathbb{E}(|\xi_i - \mu_i|^3) < \infty \mbox{ und }
\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^n \mathbb{E}\left(|\xi_i - \mu_i|^3\right)}{(\sum_{i=1}^n \sigma_i^2)^{3/2}} = 0.
\end{equation}
Dann gilt für die Zufallsvariable $\zeta_n$ definiert als
\begin{equation}
\zeta_n := \frac{\sum_{i=1}^n \xi_i - \sum_{i=1}^n \mu_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}},
\end{equation}
für alle $z\in\mathbb{R}$, dass
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} P_{\zeta_n}(z) = \Phi(z),
\end{equation}
wobei $\Phi$ KVF der Standardnormalverteilung bezeichnet.
:::
Wir zeigen an späterer Stelle, dass damit für $n\to\infty$ auch gilt, dass
$$
\sum_{i=1}^n \xi_i \sim N\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\right)
$$ {#eq-generalisierung-zentraler-grenzwertsatz-liapunov}
## Literaturhinweise
Zur mathematik-geschichtlichen Genese der Zentralen Grenzwertsätze siehe
z.B. @fischer2011.
## Selbstkontrollfragen
\footnotesize
1. Definieren Sie den Begriff der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
1. Definieren Sie den Begriff der Konvergenz in Verteilung.
1. Geben Sie das Schwache Gesetz der Großen Zahlen wieder.
1. Erläutern Sie den Zentralen Grenzwertsatz nach Lindenberg und Lévy.
1. Erläutern Sie den Zentralen Grenzwertsatz nach Liapunov.
1. Warum sind die Zentralen Grenzwertsätze für die probabilistische Modellbildung wichtig?
\normalsize