306-Varianz.qmd

## Varianz und Standardabweichung {#sec-varianz-und-standardabweichung}

Häufig genutzte Maße für die Streuung von Verteilungen von Zufallsvariablen sind
die Varianz und die Standardabweichung. Diese sind wie folgt definiert.

:::{#def-varianz-und-standardabweichung}
## Varianz und Standardabweichung
$\xi$ sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert $\mathbb{E}(\xi)$. 

* Die \textit{Varianz von $\xi$} ist definiert als
\begin{equation}
\mathbb{V}(\xi) := \mathbb{E}\left((\xi - \mathbb{E}(\xi))^2\right).
\end{equation}
* Die \textit{Standardabweichung von $\xi$} ist definiert als
\begin{equation}
\mathbb{S}(\xi) := \sqrt{\mathbb{V}(\xi)}.
\end{equation}
:::

Inwiefern die Varianz und ihre Quadratwurzel als Maße für die Streuung einer 
Zufallsvariable dienen, werden wir in @thm-chebyshev-ungleichung begründen.
Die Quadrierung der Abweichung der Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert
in der Definition der Varianz ist nötig, da andernfalls mit @thm-eigenschaften-des-erwartungswerts
immer gelten würde, dass
\begin{equation}
\mathbb{E}(\xi-\mathbb{E}(\xi)) = \mathbb{E}(\xi) - \mathbb{E}(\xi) = 0.
\end{equation}
Allerdings gibt es neben der Varianz durchaus weitere Maße der Streuung von Zufallsvariablen,
hier seien beispielsweise die erwartete absolute Abweichung einer Zufallsvariable von
ihrem Erwartungswert, $\mathbb{E}(|\xi - \mathbb{E}(\xi)|)$ und die sogenannte *Entropie*
$-\mathbb{E}(\ln p_\xi)$ genannt. Im Sinne von @def-erwartungswert-einer-funktion-einer-zufallsvariable ist die Varianz der Zufallsvariable $\xi: \Omega \to \mathcal{X}$ der Erwartungswert 
der Funktion
\begin{equation}
f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}, x \mapsto f(x) := (x - \mathbb{E}(\xi))^2.
\end{equation}
Das Berechnen von Varianzen wird durch folgendes Theorem, den sogenannten *Varianzverschiebungssatz*
oft erleichtert, insbesondere, wenn der Erwartungswert der quadrierten Zufallsvariable
leicht zu bestimmen oder bekannt ist.

:::{#thm-varianzverschiebungssatz}
## Varianzverschiebungssatz
$\xi$ sei eine Zufallsvariable. Dann gilt
\begin{equation}
\mathbb{V}(\xi) = \mathbb{E}\left(\xi^2 \right) - \mathbb{E}(\xi)^2.
\end{equation}
:::

:::{.proof}
Mit der Definition der Varianz und der Linearität des Erwartungswerts gilt
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(\xi)
& = \mathbb{E}\left((\xi - \mathbb{E}(\xi))^2\right) \\
& = \mathbb{E}\left(\xi^2 - 2\xi\mathbb{E}(\xi) + \mathbb{E}(\xi)^2 \right) \\
& =    \mathbb{E}(\xi^2)
    - 2\mathbb{E}(\xi)\mathbb{E}(\xi)
    + \mathbb{E}\left(\mathbb{E}(\xi)^2\right)   \\
& = \mathbb{E}(\xi^2) - 2\mathbb{E}(\xi)^2 + \mathbb{E}(\xi)^2  \\
& = \mathbb{E}(\xi^2) - \mathbb{E}(\xi)^2.
\end{split}
\end{align}
:::

Wie für den Erwartungswert gibt es auch für die Varianz einige Rechenregeln,
die den Umgang mit ihr oft erleichtern. Wir fassen sie in folgendem Theorem
zusammen.

:::{#thm-eigenschaften-der-varianz}
## Eigenschaften der Varianz
(1) (Linear-affine Transformation) Für eine Zufallsvariable $\xi$ und 
$a,b\in \mathbb{R}$ gelten
\begin{equation}
\mathbb{V}(a\xi + b) = a^2 \mathbb{V}(\xi)
\mbox{ und }
\mathbb{S}(a\xi + b) = |a|\mathbb{S}(\xi).
\end{equation}
(2) (Linearkombination bei Unabhängigkeit) Für unabhängige 
Zufallsvariablen $\xi_1,...,\xi_n$ und $a_1,...,a_n \in \mathbb{R}$ gilt
\begin{equation}
\mathbb{V}\left(\sum_{i=1}^n a_i\xi_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \mathbb{V}(\xi_i).
\end{equation}
:::

:::{.proof}
Um Eigenschaft (1) zu zeigen, definieren wir zunächst $\upsilon := a\xi + b$ und halten
fest, dass $\mathbb{E}(\upsilon) = a\mathbb{E}(\xi) + b$. Für die Varianz von $\upsilon$ ergibt
sich dann
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(\upsilon)
& = \mathbb{E}\left((\upsilon - \mathbb{E}(\upsilon))^2\right) 		\\
& = \mathbb{E}\left((a\xi+b-a\mathbb{E}(\xi)-b)^2\right) 	\\
& = \mathbb{E}\left((a\xi-a\mathbb{E}(\xi))^2\right) 		\\
& = \mathbb{E}\left((a(\xi - \mathbb{E}(\xi))^2\right) 		\\
& = \mathbb{E}\left(a^2(\xi - \mathbb{E}(\xi))^2\right) 	\\
& = a^2\mathbb{E}\left((\xi - \mathbb{E}(\xi))^2\right) 	\\
& = a^2\mathbb{V}(\xi) 									\\
\end{split}
\end{align}
Wurzelziehen ergibt dann das Resultat für die Standardabweichung.

Für Eigenschaft (2) betrachten wir den Fall zweier unabhängiger Zufallsvariablen
$\xi_1$ und $\xi_2$ genauer. Wir halten zunächst fest, dass in diesem Fall gilt, dass
\begin{equation}
\mathbb{E}\left(a_1\xi_1 + a_2\xi_2\right) = a_1\mathbb{E}(\xi_1) + a_2\mathbb{E}(\xi_2).
\end{equation}
Es ergibt sich also
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}\left(\sum_{i=1}^2 a_i \xi_i\right) 											     
& = \mathbb{V}(a_1\xi_1 + a_2\xi_2)                                                               \\
& = \mathbb{E}\left((a_1\xi_1 + a_2\xi_2 - \mathbb{E}\left(a_1\xi_1 + a_2\xi_2\right))^2\right)   \\
& = \mathbb{E}\left((a_1\xi_1 + a_2\xi_2 - a_1\mathbb{E}(\xi_1) - a_2\mathbb{E}(\xi_2))^2\right)  \\
& = \mathbb{E}\left((a_1\xi_1 - a_1\mathbb{E}(\xi_1) + a_2\xi_2  - a_2\mathbb{E}(\xi_2))^2\right) \\
& = \mathbb{E}\left(((a_1(\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1)) + (a_2(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2)))^2\right)  \\
& = \mathbb{E}\left((a_1(\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1)))^2
				   + 2(a_1(\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))(a_2(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))
				   + (a_2(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2)))^2\right) \\
& = \mathbb{E}\left((a_1^2(\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))^2
				   + 2a_1a_2(\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))
				   + a_2^2(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))^2\right) \\
& = a_1^2\mathbb{E}\left((\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))^2\right)
   + 2a_1a_2\mathbb{E}\left((\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))\right)
   + a_2^2\mathbb{E}\left((\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))^2\right) \\
& = a_1^2\mathbb{V}(\xi_1)
   + 2a_1a_2\mathbb{E}\left((\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))\right)
   + a_2^2\mathbb{V}(\xi_2) \\
& = \sum_{i=1}^2 a_i^2\mathbb{V}(\xi_i)
   + 2a_1a_2\mathbb{E}\left((\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))\right).
\end{split}.
\end{align}
Weil $\xi_1$ und $\xi_2$ unabhängig sind, ergibt sich mit den Eigenschaften des
Erwartungswerts für unabhängige Zufallsvariablen, dass
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{E}\left((\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))(\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))\right)
& = \mathbb{E}\left((\xi_1 - \mathbb{E}(\xi_1))\right)
	\mathbb{E}\left((\xi_2 - \mathbb{E}(\xi_2))\right) \\
& = (\mathbb{E}(\xi_1) - \mathbb{E}(\xi_1))
  	(\mathbb{E}(\xi_2) - \mathbb{E}(\xi_2)) \\
& = 0
\end{split}
\end{align}
ist. Damit folgt also
\begin{equation}
\mathbb{V}\left(\sum_{i=1}^2 a_i \xi_i\right)
=  \sum_{i=1}^2 a_i^2\mathbb{V}(\xi_i).
\end{equation}
Ein Induktionsbeweis erlaubt dann die Generalisierung vom bivariaten zum $n$-variaten Fall.
:::

### Beispiele {-}

Mit der Varianz einer Bernoulli-Zufallsvariable und der Varianz einer normalverteilten
Zufallsvariable wollen wir auch hier zwei erste Beispiele für die Varianz
einer diskreten und einer kontinuierlichen Zufallsvariable betrachten.

:::{#thm-varianz-einer-bernoulli-zufallsvariable}
## Varianz einer Bernoulli Zufallsvariable
Es sei $\xi \sim \mbox{Bern}(\mu)$. Dann ist die Varianz von $\xi$ gegeben durch
\begin{equation}
\mathbb{V}(\xi) = \mu(1-\mu).
\end{equation}
:::

:::{.proof}
$\xi$ ist eine diskrete Zufallsvariable und es gilt $\mathbb{E}(\xi) = \mu$. Also gilt
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(\xi)
& = \mathbb{E}\left((\xi - \mu)^2\right) \\
& = \sum_{x \in \{0,1\}} (x - \mu)^2 \mbox{Bern}(x;\mu) \\
& = (0 - \mu)^2 \mu^0(1-\mu)^{1-0}  + (1 - \mu)^2\mu^1(1-\mu)^{1-1}  \\
& = \mu^2 (1-\mu)  + (1 - \mu)^2\mu  \\
& = \left(\mu^2  + (1 - \mu)\mu\right)(1-\mu)  \\
& = \left(\mu^2 + \mu - \mu^2\right)(1 - \mu) \\
& = \mu(1-\mu).
\end{split}
\end{align}
:::

:::{#thm-varianz-einer-normalverteilten-zufallsvariable}
## Varianz einer normalverteilten Zufallsvariable
Es sei $\xi \sim N(\mu,\sigma^2)$. Dann ist die Varianz von $\xi$ gegeben durch
\begin{equation}
\mathbb{V}(\xi) = \sigma^2.
\end{equation}
:::

:::{.proof}

Die Herleitung der Varianz einer normalverteilten Zufallsvariable ist nicht unaufwändig,
so dass wir hier auch wieder unbewiesen die Gültigkeit von @eq-gauss-integral und
@eq-exp-limits sowie weiterhin von 
$$
\int_{-\infty}^\infty x \exp(-x^2)\,dx = 0
$$ {#eq-gauss-zero}
annehmen wollen. Wir halten zunächst fest, dass mit dem Varianzverschiebungssatz gilt, dass
\begin{align}\label{eq:var_gauss_1}
\begin{split}
\mathbb{V}(\xi)
= \mathbb{E}(\xi^2) - \mathbb{E}(\xi)^2
= \frac{1}{2\pi\sigma^2}\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2 \right)\,dx - \mu^2.
\end{split}
\end{align}
Mit der allgemeinen Substitutionsregel (@thm-rechenregeln-für-stammfunktionen)
\begin{equation}
\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx
\end{equation}
und der Definition von
\begin{equation}
g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{2\sigma^2}x + \mu,
g(-\infty) := -\infty, g(\infty) := \infty,
\mbox{ mit }
g'(x) = \sqrt{2\sigma^2}
\end{equation}
kann das Integral auf der rechten Seite von Gleichung \eqref{eq:var_gauss_1} dann als
\begin{align}
\begin{split}
\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2 \right) \,dx 
& = \int_{-\infty}^\infty (\sqrt{2\sigma^2}x + \mu)^2 \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}((\sqrt{2\sigma^2}x + \mu)-\mu)^2 \right)\sqrt{2\sigma^2}\,dx \\
& = \sqrt{2\sigma^2}\int_{-\infty}^\infty (\sqrt{2\sigma^2}x + \mu)^2 \exp\left(-\frac{2\sigma^2 x^2}{2\sigma^2} \right)\,dx \\
& = \sqrt{2\sigma^2}\int_{-\infty}^\infty (\sqrt{2\sigma^2}x + \mu)^2 \exp\left(-x^2\right)\,dx
\end{split}
\end{align}
geschrieben werden. Also gilt
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(\xi)
& =
\frac{\sqrt{2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\int_{-\infty}^\infty (\sqrt{2\sigma^2}x + \mu)^2 \exp\left(-x^2 \right)\,dx
- \mu^2
\\
&
= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\int_{-\infty}^\infty(\sqrt{2\sigma^2}x)^2 + 2\sqrt{2\sigma^2}x\mu + \mu^2) \exp\left(-x^2 \right)\,dx
- \mu^2
\\
&
= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\left(
		2\sigma^2\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp\left(-x^2 \right)\,dx +
		2\sqrt{2\sigma^2}\mu\int_{-\infty}^\infty x\exp\left(-x^2 \right)\,dx +
		\mu^2\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-x^2 \right)\,dx
\right)
- \mu^2.
\end{split}
\end{align}
Mit @eq-gauss-zero ergibt sich dann
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(\xi)
& = \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\left(2\sigma^2\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp\left(-x^2 \right)\,dx + \mu^2\sqrt{\pi} \right)
- \mu^2
\\
& = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}}
\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp\left(-x^2 \right)\,dx
+ \mu^2 - \mu^2
\\
& = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty x^2 \exp\left(-x^2 \right)\,dx.
\end{split}
\end{align}
Mit der allgemeinen Form der partiellen Integrationsregel (@thm-rechenregeln-für-stammfunktionen)
\begin{equation}
\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,dx =
f(x)g(x)|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,dx
\end{equation}
und der Definition von
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := \exp\left(-x^2\right) \mbox{ mit } f'(x) = -2\exp\left(-x^2\right)
\end{equation}
und
\begin{equation}
g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x\mapsto g(x) := -\frac{1}{2}x \mbox{ mit } g'(x) = -\frac{1}{2},
\end{equation}
so dass
\begin{equation}
f'(x)g(x) = -2\exp\left(-x^2\right)\left(-\frac{1}{2}x \right) = x^2\exp\left(-x^2\right),
\end{equation}
gilt, ergibt sich dann
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(\xi)
& = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty x^2 \exp\left(-x^2 \right)\,dx  \\
& = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}}
\left( -\frac{1}{2}x\exp\left(-x^2\right)|_{-\infty}^{\infty}
- \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-x^2 \right)\left(-\frac{1}{2} \right)\,dx \right)  \\
& = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}}
\left(
 -\frac{1}{2}x\exp\left(-x^2\right)|_{-\infty}^{\infty}
+ \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-x^2 \right)\,dx
\right).
\end{split}
\end{align}
Aus @eq-exp-limits schließen wir dann, dass der erste Term in den Klammern auf der
 rechten Seite der obigen Gleichung gleich $0$ ist. Schließlich ergibt sich damit
\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(\xi)
= \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-x^2 \right)\,dx\right)
= \frac{\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\pi}
= \sigma^2.
\end{split}
\end{align}
:::

Allgemein ergeben sich die Erwartungswerte und Varianzen parametrischer
Verteilungen als Funktionen ihrer Parameter. Wir fassen die 
Erwartungswerte uns bekannter Verteilungen in @thm-erwartungswerte-varianzen
zusammen.

:::{#thm-erwartungswerte-varianzen}
## Erwartungswerte und Varianzen einiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen
\center
\begin{tabular}{l|c|c}
Zufallsvariable 							&	Erwartungswert					&	Varianz														\\\hline
$\xi \sim \mbox{B}(\mu)$ 					& 	$\mu$							&	$\mu(1-\mu)$ 												\\
$\xi \sim \mbox{Bin}(\mu,n)$ 				& 	$n\mu$							&	$n\mu(1-\mu)$  												\\
$\xi \sim N(\mu,\sigma^2)$ 					& 	$\mu$							&	$\sigma^2$  												\\
$\xi \sim G(\alpha,\beta)$					& 	$\alpha\beta$ 					&	$\alpha\beta^2$												\\
$\xi \sim \mbox{Beta}(\alpha,\beta)$		& 	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 	&	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ 		\\
$\xi \sim \mbox{U}(a,b)$					& 	$\frac{a+b}{2}$ 				&	$\frac{(b-a)^2}{12}$  										\\
\end{tabular}
:::

Wir verzichten auf einen Beweis.

## Kennzahlen univariater Stichproben {#sec-stichprobenkennzahlen}

Wie wir @sec-grundbegriffe-frequentistischer-inferenz noch ausführlich diskutieren, 
werden ist eine Charakteristikum der probabilistischen Modellierung, beobachtete 
Daten als Realisierungen von Zufallsvariablen zu verstehen. Hat meine Menge 
$\xi_1,...,\xi_n$ von Zufallsvariablen, so nennt man diese auch eine *Stichprobe*. 
Basierend auf einer Stichprobe kann man nun Kennzahlen berechnen, die auf den 
ersten Blick den Begriffen von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
ähneln, mit diesen aber keinesfalls zu verwechseln sind. Defacto dienen die
in folgender Definition aufgeführten Stichprobenkennzahlen oft als *Schätzer* für
die Kennzahlen von Zufallsvariablen, wie wir in @sec-punktschaetzung ausführlich
darlegen wollen. Gewissermaßen Vorgriff zur Abgrenzung der Begrifflichkeiten 
und auch als Grundlage für @sec-grenzwerte definieren wir hier einige deskriptive
Stichprobenkennzahlen.

:::{#def-stichprobenkennzahlen}
## Stichprobenmittel, Stichprobenvarianz, Stichprobenstandardabweichung
$\xi_1,...,\xi_n$ sei eine Menge von Zufallsvariablen, genannt *Stichprobe*.

* Das *Stichprobenmittel* von $\xi_1,...,\xi_n$ ist definiert als 
\begin{equation}
\bar{\xi} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \xi_i.
\end{equation}
* Die *Stichprobenvarianz* von $\xi_1,...,\xi_n$ ist definiert als
\begin{equation}
S^2 := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (\xi_i - \bar{\xi})^2.
\end{equation}
* Die *Stichprobenstandardabweichung* ist definiert als
\begin{equation}
S := \sqrt{S^2}.
\end{equation}
:::

Zur Abgrenzung erinnern wir noch einmal daran, dass Erwartungswert $\mathbb{E}(\xi)$,
Varianz $\mathbb{V}(\xi)$ und Standardabweichung $\mathbb{S}(\xi)$ Kennzahlen 
einer Zufallsvariable $\xi$ sind, wohingegen $\bar{\xi}, S^2$, und $S$ 
Kennzahlen einer Stichprobe $\xi_1,...,\xi_n$ sind. 

**Beispiel**

Wir wollen die Bestimmung der in @def-stichprobenkennzahlen eingeführten 
Stichprobenkennzahlen an einem Beispiel erläutern. Dazu halten wir nochmals fest, dass
$\bar{\xi}, S^2$, $S$ Zufallsvariablen sind und wollen ihre Realisationen im 
Folgenden mit $\bar{x}, s^2$ und $s$ bezeichnen. Nehmen wir also an, wir haben für
$n := 10$ die in folgender Tabelle gezeigten Realisationen von u.i.v. 
nach $N(1,2)$ verteilten Zufallsvariable $\xi_1,...,\xi_{10}$, wobei für 
$i = 1,...,10$ die Realisation von $\xi_i$ mit $x_i$ bezeichnen ist:

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccccccc}
   $x_1$
&  $x_2$
&  $x_3$
&  $x_4$
&  $x_5$
&  $x_6$
&  $x_7$
&  $x_8$
&  $x_9$
&  $x_{10}$ \\\hline
   0.54
&  1.01
& -3.28
&  0.35
&  2.75
& -0.51
&  2.32
&  1.49
&  0.96
&  1.25
\end{tabular}
\end{center}

Nach @def-stichprobenkennzahlen ist die Stichprobenmittelrealisation dann gegeben durch
\begin{equation}
\bar{x}
= \frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}x_i
= \frac{6.88}{10}
= 0.68,
\end{equation}
die Stichprobenvarianzrealisation gegeben durch
\begin{equation}
s^2
= \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2
= \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10} (x_i - 0.68)^2
= \frac{25.37}{9}
= 2.82.
\end{equation}
und die Stichprobenstandardabweichungrealisation gegeben durch
\begin{equation}
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{2.82} = 1.68.
\end{equation}


## Kennzahlen univariater Stichproben {#sec-stichprobenkennzahlen}

Wie wir @sec-grundbegriffe-frequentistischer-inferenz noch ausführlich diskutieren, 
werden ist eine Charakteristikum der probabilistischen Modellierung, beobachtete 
Daten als Realisierungen von Zufallsvariablen zu verstehen. Hat meine Menge 
$\xi_1,...,\xi_n$ von Zufallsvariablen, so nennt man diese auch eine *Stichprobe*. 
Basierend auf einer Stichprobe kann man nun Kennzahlen berechnen, die auf den 
ersten Blick den Begriffen von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
ähneln, mit diesen aber keinesfalls zu verwechseln sind. Defacto dienen die
in folgender Definition aufgeführten Stichprobenkennzahlen oft als *Schätzer* für
die Kennzahlen von Zufallsvariablen, wie wir in @sec-punktschaetzung ausführlich
darlegen wollen. Gewissermaßen Vorgriff zur Abgrenzung der Begrifflichkeiten 
und auch als Grundlage für @sec-grenzwerte definieren wir hier einige deskriptive
Stichprobenkennzahlen.

:::{#def-stichprobenkennzahlen}
## Stichprobenmittel, Stichprobenvarianz, Stichprobenstandardabweichung
$\xi_1,...,\xi_n$ sei eine Menge von Zufallsvariablen, genannt *Stichprobe*.

* Das *Stichprobenmittel* von $\xi_1,...,\xi_n$ ist definiert als 
\begin{equation}
\bar{\xi} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \xi_i.
\end{equation}
* Die *Stichprobenvarianz* von $\xi_1,...,\xi_n$ ist definiert als
\begin{equation}
S^2 := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (\xi_i - \bar{\xi})^2.
\end{equation}
* Die *Stichprobenstandardabweichung* ist definiert als
\begin{equation}
S := \sqrt{S^2}.
\end{equation}
:::

Zur Abgrenzung erinnern wir noch einmal daran, dass Erwartungswert $\mathbb{E}(\xi)$,
Varianz $\mathbb{V}(\xi)$ und Standardabweichung $\mathbb{S}(\xi)$ Kennzahlen 
einer Zufallsvariable $\xi$ sind, wohingegen $\bar{\xi}, S^2$, und $S$ 
Kennzahlen einer Stichprobe $\xi_1,...,\xi_n$ sind. 

**Beispiel**

Wir wollen die Bestimmung der in @def-stichprobenkennzahlen eingeführten 
Stichprobenkennzahlen an einem Beispiel erläutern. Dazu halten wir nochmals fest, dass
$\bar{\xi}, S^2$, $S$ Zufallsvariablen sind und wollen ihre Realisationen im 
Folgenden mit $\bar{x}, s^2$ und $s$ bezeichnen. Nehmen wir also an, wir haben für
$n := 10$ die in folgender Tabelle gezeigten Realisationen von u.i.v. 
nach $N(1,2)$ verteilten Zufallsvariable $\xi_1,...,\xi_{10}$, wobei für 
$i = 1,...,10$ die Realisation von $\xi_i$ mit $x_i$ bezeichnen ist:

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccccccc}
   $x_1$
&  $x_2$
&  $x_3$
&  $x_4$
&  $x_5$
&  $x_6$
&  $x_7$
&  $x_8$
&  $x_9$
&  $x_{10}$ \\\hline
   0.54
&  1.01
& -3.28
&  0.35
&  2.75
& -0.51
&  2.32
&  1.49
&  0.96
&  1.25
\end{tabular}
\end{center}

Nach @def-stichprobenkennzahlen ist die Stichprobenmittelrealisation dann gegeben durch
\begin{equation}
\bar{x}
= \frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}x_i
= \frac{6.88}{10}
= 0.68,
\end{equation}
die Stichprobenvarianzrealisation gegeben durch
\begin{equation}
s^2
= \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2
= \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10} (x_i - 0.68)^2
= \frac{25.37}{9}
= 2.82.
\end{equation}
und die Stichprobenstandardabweichungrealisation gegeben durch
\begin{equation}
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{2.82} = 1.68.
\end{equation}