103-Summen-Produkte-Potenzen.qmd

# Summen, Produkte, Potenzen {#sec-summen-produkte-potenzen}
\normalsize

## Summen {#sec-summen}
Diese Einheit führt einige Schreibweisen für die Grundrechenarten ein.

:::{#def-summenzeichen}
## Summenzeichen

Es bezeichnet
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_{2} + \cdots + x_{n}.
\end{equation}
Dabei stehen

* $\Sigma$ für das griechische *S*igma, mnemonisch für*S*umme,
* das Subskript $i = 1$ für den *Laufindex* und den *Startindex*,
* das Superskript $n$ für den *Endindex* und
* $x_1, x_2, ..., x_n$ für die *Summanden*.
:::

Für die sinnvolle Benutzung des Summenzeichens ist es essentiell, dass mit
mithilfe des Subskripts und des Superskripts Anfang
und Ende der Summation festgelegt werden. Die genaue Bezeichnung des Laufindexes
ist dagegen für den Wert der Summe irrelevant, es gilt
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{j=1}^n x_j.
\end{equation}
Manchmal  wird der Laufindex auch als Element einer *Indexmenge*
angegeben. Ist z.B. die Indexmenge $I := \{1,5,7\}$ definiert, so ist
\begin{equation}
\sum_{i \in I}x_i := x_1 + x_5 + x_7.
\end{equation}
Im Folgenden wollen wir kurz einige Beispiele für die Benutzung des Summenzeichens betrachten.

* *Summation vordefinierter Summanden.* Es seien $x_1 := 2$, $x_2 := 10$, $x_3 := -4$. Dann gilt
\begin{equation}
\sum_{i=1}^3 x_i = x_1 + x_2 + x_3 = 2 + 10 - 4 = 8. 
\end{equation}

* *Summation natürlicher Zahlen.* Es gilt
\begin{equation}
\sum_{i=1}^5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.  
\end{equation}

* *Summation gerader natürlicher Zahlen.* Es gilt
\begin{equation}
\sum_{i=1}^5 2i = 2\cdot 1  + 2\cdot 2 + 2\cdot 3 + 2\cdot 4 + 2\cdot 5 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.
\end{equation}

* *Summation ungerader natürlicher Zahlen.* Es gilt
\begin{equation}
\sum_{i=1}^5 (2i - 1) = 2\cdot 1 - 1  + 2\cdot 2 - 1 + 2\cdot 3 - 1 + 2\cdot 4 - 1 + 2\cdot 5 - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
\end{equation}

Der Umgang mit dem Summenzeichen wird oft durch die Anwendung folgender Rechenregeln
vereinfacht.

:::{#thm-rechenregeln-für-summen}
## Rechenregeln für Summen

(1) Summen gleicher Summanden
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n x = nx
\end{equation}
(2) Assoziativität bei Summen gleicher Länge
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)
\end{equation}
(3) Distributivität bei Multiplikation mit einer Konstante
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n ax_i = a\sum_{i=1}^n x_i
\end{equation}
(4) Aufspalten von Summen mit $1 < m < n$
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n x_i = \sum_{i=1}^m x_i + \sum_{i=m+1}^n x_i
\end{equation}
(5) Umindizierung
\begin{equation}
\sum_{i=0}^n x_i = \sum_{j = m}^{n+m} x_{j - m}
\end{equation}
:::

:::{.proof}
Man überzeugt sich von diesen Rechenregeln durch Ausschreiben der Summen und 
Anwenden der Rechenregeln von Addition und Multiplikation. Wir zeigen hier 
exemplarisch die Assoziativität bei Summen gleicher Länge und die Distributivität
bei Multiplikation mit einer Konstante. Hinsichtlich ersterer haben wir
\begin{align}
\begin{split}
\sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n y_i
& = x_1 + x_2 + \cdots + x_n +  y_1 + y_2 + \cdots + y_n    \\
& = x_1 + y_1 + x_2 + y_2 + \cdots + x_n + y_n               \\
& = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i).
\end{split}
\end{align}
Hinsichtlich letzterer gilt
\begin{align}
\begin{split}
\sum_{i=1}^n ax_i
& = ax_1 + ax_2 + \cdots + ax_n                             \\ 
& = a(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)                             \\
& = a\sum_{i=1}^n x_i.
\end{split}
\end{align}
:::

Als Beispiel für die Anwendung einer Rechenregel betrachten wir die Auswertung
eines *Mittelwertes* (manchmal auch *Durchschnitt* genannt). Dazu seien 
$x_1, x_2,...,x_n$ reelle Zahlen. Der Mittelwert dieser Zahlen entspricht der 
Summe von $x_1, x_2,...,x_n$ geteilt durch die Anzahl der Zahlen $n$. Dabei ist 
es nach obiger Rechenregel (3) irrelevant, ob zunächst die Zahlen aufaddiert werden 
und dann die resultierende Summe durch $n$ geteilt wird, oder die Zahlen jeweils 
einzeln durch $n$ geteilt werden und die entsprechenden Ergebenisse dann aufaddiert werden. 
Genauer gilt durch Anwendung von Rechenregel (3) mit $a =1/n$, dass
\begin{equation}
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{n}.
\end{equation}
So ist zum Beispiel der Mittelwert von  $x_1 := 1, x_2 := 4, x_3 := 2$ $x_4 := 1$ gegeben
durch
\begin{equation} 
\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i 
= \frac{1}{4}(1 + 4 + 2 + 1) 
= \frac{8}{4} 
= 2 
= \frac{8}{4} 
= \frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}
= \sum_{i=1}^4 \frac{x_i}{4}.
\end{equation}

## Produkte {#sec-produkte}
Eine analoge Schreibweise zum Summenzeichen bietet das Produktzeichen für Produkte.

:::{#def-produktzeichen}
## Produktzeichen
Es bezeichnet 
\begin{equation}
\prod_{i=1}^{n} x_i = x_1 \cdot x_{2} \cdot \cdots \cdot x_{n}.
\end{equation}
Dabei stehen

* $\prod$ für das griechische \textit{P}i, mnemonisch für *P*rodukt,
* das Subskript $i = 1$ für den *Laufindex* und den *Startindex*,
* das Superskript $n$ für den *Endindex*,
* $x_1, x_2, ..., x_n$ für die *Produktterme*
:::

Analog zum Summenzeichen gilt, dass das Produktzeichen nur mit Subskript und 
Superskripten zu Lauf- und Endindex Sinn ergibt. Die genaue Bezeichnung des
Laufindizes ist wiederum irrelevant, es gilt
\begin{equation}
\prod_{i=1}^n x_i = \prod_{j=1}^n x_j.
\end{equation}
Auch hier wird in seltenen Fällen der Laufindex als Element einer Indexmenge
angegeben. Ist z.B. die Indexmenge $J := \mathbb{N}_2^0$ definiert, so ist
\begin{equation}
\prod_{j \in J}x_j := x_0 \cdot x_1 \cdot x_2.
\end{equation}

## Potenzen {#sec-potenzen}
Produkte von Zahlen mit sich selbst können mithilfe der Potenzschreibweise 
abgekürzt werden.

:::{#def-potenz}
## Potenz

Für $a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}^0$ ist die *$n$-te Potenz von $a$* definiert durch
\begin{equation}
a^0 := 1 \mbox{ und } a^{n+1} := a^n \cdot a.
\end{equation}
Weiterhin ist für $a\in \mathbb{R} \setminus 0$ und  $n \in \mathbb{N}^0$ die
*negative $n$-te Potenz von $a$* definiert durch
\begin{equation}
a^{-n} := (a^n)^{-1} := \frac{1}{a^n}.
\end{equation}
$a$ wird dabei *Basis* und $n$ wird *Exponent* genannt.
:::

Die Art der Definition von $a^{n+1}$ mit Rückbezug auf die Potenz $a^n$ in obiger
Definition nennt man *rekursiv*. Die Definition $a^0 := 1$ nennt man dabei den
*Rekursionsanfang*; er macht die rekursive Definition von $a^{n+1}$ erst möglich.
Die Definition $a^{n+1} := a^n \cdot a$ nennt man auch *Rekursionsschritt*. 
Folgende Rechenregeln vereinfachen das Rechnen mit Potenzen.

:::{#thm-rechenregeln-für-potenzen}
## Rechenregeln für Potenzen

Für $a,b\in \mathbb{R}$  und $n,m \in \mathbb{Z}$ mit $a\neq 0$ bei negativen
Exponenten gelten folgende Rechenregeln:
\begin{align}
a^n a^m & = a^{n+m} \\
(a^n)^m & = a^{nm}  \\
(ab)^n 	& = a^nb^n
\end{align}
:::

Wir verzichten auf einen Beweis. Beispielsweise gelten also
\begin{equation}
2^2 \cdot 2^3 = (2\cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^5 = 2^{2 + 3},
\end{equation}
\begin{equation}
(3^2)^3 = (3\cdot 3)^3 = (3\cdot 3)\cdot(3\cdot 3)\cdot(3\cdot 3)= 3^6 = 3^{2\cdot3},
\end{equation}
und
\begin{equation}
(2 \cdot 4)^2 = (2\cdot 4)\cdot (2 \cdot 4) = (2 \cdot 2)\cdot(4\cdot 4) = 2^2 \cdot 4^2.
\end{equation}

In enger Beziehung zur Potenz steht die Definition der $n$ten Wurzel:

:::{#def-nte-wurzel}
## $n$-te Wurzel
Für $a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}$ ist die *$n$-te Wurzel von $a$*
definiert als die Zahl $r$, so dass
\begin{equation}
r^n = a.
\end{equation}
:::

Beim Rechnen mit Wurzeln ist die Potenzschreibweise von Wurzeln oft hilfreich,
da sie die direkte Anwendung der Rechenregeln für Potenzen ermöglicht.

:::{#thm-potenzschreibweise-der-nten-wurzel}
## Potenzschreibweise der $n$-ten Wurzel
Es sei $a \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$, und $r$ die $n$-te Wurzel von $a$. Dann gilt
\begin{equation}
r = a^{\frac{1}{n}}
\end{equation}
:::

:::{.proof}
Es gilt
\begin{equation}
\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n
= a^{\frac{1}{n}}\cdot a^{\frac{1}{n}}\cdot \cdots \cdot a^{\frac{1}{n}}
= a^{\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}}
= a^1
= a.
\end{equation}
Also gilt mit der Definition der $n$-ten Wurzel, dass $r = a^\frac{1}{n}$.
:::

Das Rechnen mit Quadratwurzeln wird durch die Potenzschreibweise $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ sehr
erleichtert. Zum Beispiel gilt
\begin{equation}
\frac{2\pi}{\sqrt{2\pi}}
= \frac{2\pi}{(2\pi)^{\frac{1}{2}}} 
= (2\pi)^{1} \cdot (2\pi)^{-\frac{1}{2}}
= (2\pi)^{1-\frac{1}{2}}
= (2\pi)^{\frac{1}{2}}
= \sqrt{2\pi}.
\end{equation}



## Selbstkontrollfragen {#sec-selbstkontrollfragen-summen-produkte-potenzen}
\footnotesize
1. Geben Sie die Definition des Summenzeichens wieder.
1. Berechnen Sie die Summen $\sum_{i=1}^3 2$, $\sum_{i=1}^3 i^2$, und $\sum_{i=1}^3 \frac{2}{3}i$.
1. Schreiben Sie die Summe $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ mithilfe des Summenzeichens.
1. Schreiben Sie die Summe $0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10$ mithilfe des Summenzeichens.
1. Geben Sie die Definition des Produktzeichens wieder.
1. Geben Sie die Definition der $n$-ten Potenz von $a \in \mathbb{R}$ wieder.
1. Berechnen Sie $2^2\cdot 2^3$ und $2^5$ und geben Sie die zugehörige Potenzregel wieder.
1. Berechnen Sie $6^2$ und $2^2\cdot 3^2$ und geben Sie die zugehörige Potenzregel wieder.
1. Begründen Sie, warum die $n$-te Wurzel von $a$ als $a^{\frac{1}{n}}$ geschrieben werden kann.
1. Berechnen Sie $(\sqrt{2})^{\frac{2}{3}}, 9^{\frac{1}{2}}$, und $4^{-\frac{1}{2}}$.