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20. 环 |
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在抽象代数中,环(Ring)是一种比群更复杂的代数结构。环包含了两个二元运算,通常表示为加法和乘法。这一讲,我们将介绍环的定义、分类和性质。
群是拥有一个运算的集合,而环是拥有两个二元运算的集合。它满足类似于整数加法和乘法的性质。环元素可以是整数或复数等数字,但也可以是多项式、函数和幂级数等非数字对象。
环的定义 一个环 包含了一个非空集合 和两个二元运算 (加法)和 (乘法),满足以下3条性质:
-
为Abel群(交换群),即满足:
-
加法封闭性: 对于任意 , 。
-
加法结合律: 对于任意 , 。
-
加法单位元: 存在一个元素 ,对于任意 , 。
-
加法逆元: 对于任意 ,存在一个元素 ,使得 。
-
加法交换律: 对于任意 , 。
-
为幺半群,即满足:
-
乘法封闭性: 对于任意 , 。
-
乘法结合律: 对于任意 , 。
-
乘法单位元: 存在一个元素 ,对于任意 , 。
有的书本中,环不需要有乘法单位元,与咱们的定义不同。咱们把不带乘法单位元的结构叫做伪环。
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乘法对于加法满足分配律,即对于任意 ,有
-
。
总的来说,环对加法群的要求比较高,要形成Abel群(群的4条基本性质 + 交换律);而乘法群要求低一些,只需要满足群的3条性质,不需要每个元素存在乘法逆元;同时,乘法和加法需要满足分配律。
由于环比群更加具体,因此在环中,我们使用加法 和乘法 代表环中的运算,而不是抽象的 🐔 和 🦆;加法单位元用 表示;有时我们会把乘法符号省略,将 写为 。
下面介绍环中常用的符号:
符号 |
含义 |
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加法单位元,也称零元 |
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元素 的加法逆元 |
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或
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乘法单位元 |
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元素 的乘法逆元 |
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或
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我们以整数环和整数模n环为例,来熟悉什么是环。
大家最熟悉的环就是整数环,它由所有整数集合 以及整数加法和乘法构成。
我们验证它是否满足环的基本性质:
-
为Abel群
-
存在单位元 ,封闭,且满足结合律。
-
整数加法和乘法满足分配律。
因此,整数环 满足环的基本性质,构成环。
整数模n环也是密码学中常用的环,它由模n的剩余类以及模加法和乘法构成。
我们验证它是否满足环的基本性质:
-
为Abel群
-
存在单位元 ,封闭,且满足结合律。
-
模加法和乘法满足分配律。
因此,整数模n环 满足环的基本性质,构成环。
如果环 中只有一个元素,根据环的基本性质,这个元素就是加法单位元 。这个环就是 ,我们称之为零环。
我们也把零环称为平凡环,把除零环以外的环称为非平凡环。
如果环 中的乘法也满足交换律,即对于任意 ,,那么称该环为交换环。
我们在密码学常用环几乎都是交换环,比如整数环 ,整数模 环 ,因此在本教程中,环默认指代交换环,除非特殊说明。
首先,我们介绍零因子。对于环 ,如果存在非零元素 ,使得 成立,那么 和 被称为零因子。举个例子,在整数模6环 中,有 ,因此 和 为 的零因子。
若交换环 中不存在零因子,那么我们称 为整环。举个例子, 是整环,任意两个非零元素相乘的结果不等于零。
域也是一种特殊的环。若交换环 的乘法群去除零元素后 能形成Abel群,那么我们称 为域。例如 去除零元素后为 ,而 满足Abel群性质,因此 。
域在密码学和零知识证明中非常重要,我们之后会有一讲专门介绍它。
下面,我们介绍一些环的基本性质。
性质1. 加法单位元 唯一。
点我展开证明👀
设零元素为0,若存在另一元素0'也满足加法单位元的性质,则有:
因此有 ,即零元素唯一。
性质2. 元素的加法逆元唯一。
点我展开证明👀
对于任意元素 ,设其加法逆元为 和 。则有:
两式相减得 ,即 。所以, 的加法逆元唯一。
性质3. 乘法单位元 唯一。
性质4. 元素的零乘性质: 对于任意元素 ,有 ,即 是乘法的吸收元素。
点我展开证明👀
对于零元,有 ,因此对于任意元素 ,有 ,两式相减得 。
可用相同方法证明。证毕
性质5. 非平凡环(非零环)中,加法单位元和乘法单位元不相等,即 。
点我展开证明👀
假设加法单位元和乘法单位元相等,则对于环中任意元素 ,有 ,也就是任意元素 ,该环是零环/平凡环,与条件矛盾。因此非平凡环(非零环)中,加法单位元和乘法单位元不相等。证毕。
性质6. 元素 和 为环 中的元素,有 。
点我展开证明👀
首先,先证明 ,其实就是证明 和 互为逆元。根据分配率,有 ,因此 和 互为逆元,有 成立。
我们可以用同样的方法证明 和 互为逆元,因此 。
因此,有 。证毕。
性质7. 元素 和 为环 中的元素,有 。
点我展开证明👀
首先,先证明 ,其实就是证明 和 互为逆元。根据分配率,有 ,因此 和 互为逆元,有 成立。
我们可以用同样的方法证明 和 互为逆元,因此 。
接下来,我们证明 ,也就是 和 互为逆元。根据分配率,有 = -a(b-b) = -a0= 0$,因此它们互为逆元,有 成立。
因此,有 。证毕。
大家可以以整数环和整数模n环为例,理解这些性质。
对于环 ,如果 是 的非空子集,且 也是环,那么我们称 为 的子环。
我们可以用以下条件判断环 是否为 的子环:
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加法封闭: 对于任意 ,有 。
-
零元的保持: 的零元也在 中,即 。
-
加法逆元存在: 对于任意 ,有 。
-
乘法封闭: 对于任意 ,有 。
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(乘法)单位元存在: 存在乘法单位元。
或者等价的:
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减法封闭(判断子群的条件): 对于任意 ,有 。
-
乘法封闭: 对于任意 ,有 。
-
(乘法)单位元存在: 存在乘法单位元。
这一讲,我们介绍了环的基本定义和性质,了解了环的一些例子。环是抽象代数中的一个重要概念,为后续学习提供了基础。