06_aula.Rmd

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# Aula 6

## Sub-$\sigma$ álgebras

Uma sub-$\sigma$ álgebra $\mathcal{F}_1$ é uma coleção de conjuntos contida em uma $\sigma$-álgebra $\mathca{F}$. Em algumas aplicações, é útil definir o conceito de independência entre $\sigma$-álgebras usando ideias de independência de conjuntos. 

Considerando o espaço de probabilidades $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, duas sub-$\sigma$ álgebras de $\mathcal{F}$, digamos $\mathcal{F}_1$ e $\mathcal{F}_2$, são ditas independentes se, para todo $A \in \mathcal{F}_1$ e todo $B \in \mathcal{F}_2$ valer que

$$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B).$$
## Variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias são funções de $\Omega$ em $\mathbb{R}$ que satisfazem a seguinte propriedade:

$$\text{Para todo }B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\text{ tem-se que }X^{-1}(B) =_{def} \{\omega \in \Omega \ : \ X(\omega) \in B \} \in \mathcal{F}$$