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\documentclass{nuevotema}
\tema{3A-42}
\titulo{Teorías del crecimiento económico (I). El modelo de Harrod-Domar. El modelo de Solow. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans. Sus implicaciones y limitaciones.}
\begin{document}
\ideaclave
Uno de los objetivos de la macroeconomía es entender el crecimiento del producto a largo plazo. Es decir, entender qué factores determinan el nivel de producción en el largo plazo. Aunque la distinción entre largo plazo y corto plazo es relativamente arbitraria, es habitual entenderlo como el horizonte temporal en el que todos los factores de producción pueden ajustar sus valores. Robert Lucas escribió que \comillas{una vez que uno comienza a pensar en el crecimiento económico, es difícil pensar en otra cosa}. La frase se fundamenta en el hecho de que cambios presentes en los factores que determinan este crecimiento tienen enormes efectos futuros por el hecho de que sus consecuencias se van acumulando entre periodos.
Para explicar el fenómeno del crecimiento y sus determinantes existen diferentes familias de teorías. En todas ellas, sin embargo, el crecimiento es resultado de la acumulación de factores productivos. Las dinámicas de acumulación de esos factores, y la consideración de unos u otros conceptos como factores de producción definen en gran medida las diferencias entre unas teorías u otras. El presente tema tiene por objeto exponer tres teorías que se caracterizan por no contemplar el crecimiento del producto per cápita en estado estacionario como un proceso endógeno. Así, el crecimiento per cápita en estado estacionario se modeliza como un proceso exógeno sobre el que los agentes no tienen poder decisión. Partiendo de este rasgo común a los tres modelos presentados en este tema, cabe establecer una diferencia adicional. En los dos primeros modelos, de Harrod-Domar y de Solow-Swann no existe optimización, sino tan sólo un proceso dinámico cuya evolución a largo plazo se describe mediante una ecuación diferencial. En estos dos modelos, el estado estacionario no es el resultado de ninguna decisión optimizadora, sino simplemente de una tasa de ahorro determinada exógena y arbitrariamente.
El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans endogeneiza esa tasa de ahorro de tal manera que es en éste último el resultado de un proceso de optimización con el consumo como variable de decisión. Así, el ahorro en el modelo RCK es aquel que optimiza la utilidad intertemporal, que no es sino una suma o integral de utilidades en cada periodo. Las conclusiones del modelo RCK son similares a las del modelo de Solow en cuanto a la dinámica de la economía, pero muestran algunas diferencias importantes. Por ejemplo, en el modelo RCK el consumo de estado estacionario es inferior al que corresponde en el modelo de Solow al nivel de capital de la \comillas{regla de oro}.
\seccion{Preguntas clave}
\begin{itemize}
\item ¿Qué tratan de entender y predecir los modelos de crecimiento ecónomico?
\item ¿Qué caracteriza a los modelos de crecimiento exógeno?
\item ¿Cuáles son las implicaciones del modelo de Harrod-Domar, de Solow y de Ramsey-Cass-Koopmans?
\item ¿Cuáles son sus limitaciones a la hora de explicar el crecimiento?
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item ¿Qué es el crecimiento económico?
\item ¿De qué depende?
\item ¿Qué dinámica sigue a largo plazo?
\item ¿Qué modelos teóricos tratan de caracterizarlo?
\item ¿Qué factores tienen en cuenta?
\item ¿Qué conclusiones se extraen de ellos?
\item ¿Cómo se explican las diferencias de renta per cápita entre países?
\end{itemize}
\esquemacorto
\begin{esquema}[enumerate]
\1[] \marcar{Introducción} 2'-2'
\2 Contextualización
\3 Evolución histórica de la renta per cápita
\3 Causas próximas y fundamentales
\3 Enfoques de estudio
\2 Objeto
\3 Cómo afecta la acumulación de ff.pp al crecimiento
\3 Qué PIB per cápita se alcanza a l/p
\3 Qué modelos neoclásicos relevantes
\3 Qué implicaciones de política económica
\2 Estructura
\3 Harrod-Domar
\3 Solow-Swan
\3 Ramsey-Cass-Koopmans
\1 \marcar{Modelo de Harrod-Domar}
\2 Idea clave
\3 Contexto
\3 Objetivo
\3 Resultados
\2 Formulación (Barro y Sala-i-Martín)
\3 Supuestos
\3 Producción per cápita
\3 Dinámica
\3 Paro
\3 Sobreinversión
\3 Utilización plena de factores
\2 Implicaciones
\3 Crecimiento equilibrado
\3 Intervención pública
\2 Formulación original
\3 Proporción óptima capital-trabajo
\3 Crecimiento del output
\3 Crecimiento con intensidad de capital constante
\3 Crecimiento del empleo
\3 Equilibrio de largo plazo
\3 Factibilidad del crecimiento de largo plazo
\3 Inestabilidad del equilibrio de largo plazo
\2 Valoración
\3 Supuestos inasumibles
\3 Actualidad
\1 \marcar{Modelo de Solow-Swann 12'-18'}
\2 Idea clave
\3 Contexto
\3 Objetivo
\3 Resultados
\2 Formulación
\3 Supuestos
\3 Dinámica
\2 Implicaciones
\3 Aumento de tasa de ahorro
\3 Convergencia
\3 Diferencias PIBpc
\2 Extensiones
\3 Trampas de pobreza
\3 Crecimiento de la natalidad
\3 Recursos naturales
\3 Modelo de Solow con recurso natural constante
\2 Valoración
\3 Análisis mecánico
\3 Acumulación de inputs
\3 Progreso tecnológico
\3 Nuevo marco de análisis
\3 Bienestar
\1 \marcar{Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans 10-28'}
\2 Idea clave
\3 Contexto
\3 Caracterizar evolución de:
\3 A partir de una regla de decisión
\3 Resultado
\2 Formulación (planificador)
\3 Programa de maximización
\3 Sujeto a:
\3 Donde:
\3 Dinámica del óptimo
\3 Estado estacionario
\2 Implicaciones
\3 Consumo
\3 Bienestar
\3 Estática comparativa
\2 Valoración
\3 Comparación con modelo de Solow
\3 Limitaciones
\3 Modelos relacionados
\1[] \marcar{Conclusión 2'-30'}
\2 Recapitulación
\3 Modelos crecimiento exógeno
\3 Harrod-Domar
\3 Solow
\3 Ramsey-Cass-Koopmans
\2 Idea final
\3 Diferencias de riqueza
\3 Consecuencias futuras del presente
\3 Convergencia entre países
\end{esquema}
\esquemalargo
\begin{esquemal}
\1[] \marcar{Introducción} 2'-2'
\2 Contextualización
\3 Evolución histórica de la renta per cápita
\4 A lo largo de historia humana
\4[] PIBpc prácticamente estable
\4[] Muy similar en todo el mundo
\4 Divergencia global
\4[] A partir del año 1000 d.C
\4[] $\to$ Según algunos autores
\4[] A partir de 1800 d.C.
\4[] $\to$ Según toda la literatura
\4[] Europa occidental + satélites
\4[] $\to$ Comienzan a divergir
\4[] $\then$ Crecimiento económico sostenido
\4[] $\then$ Diferencias de renta actuales
\3 Causas próximas y fundamentales
\4 Causas próximas:
\4[] Factores con influencia directa en crecimiento
\4[] $\to$ Acumulación de capital físico
\4[] $\to$ Crecimiento demográfico
\4[] $\to$ Avances tecnológicos
\4 Causas fundamentales:
\4[] Causan causas próximas
\4[] $\to$ Instituciones
\4[] $\to$ Preferencias
\4[] $\to$ Cultura
\4[] $\to$ Geografía física
\4[] $\to$ Azar
\4 Objetivo de teoría del crecimiento
\4[] Entender relación entre
\4[] $\to$ Crecimiento y causas próximas
\4[] $\to$ Causas próximas y fundamentales
\4[] $\then$ ¿Por qué unos países crecen y otros no?
\4 Robert Lucas
\4[] ``Cuando uno estudia el crec. económico
\4[] ...es difícil pensar en otra cosa.'''
\3 Enfoques de estudio
\4 Dos grandes familias
\4[] Crecimiento pc exógeno a l/p
\4[] $\to$ Caracterización de estados estacionarios
\4[] $\to$ Tecnología es proceso no económico
\4[] Crecimiento endógeno
\4[] $\to$ Avances tecnológico es proceso económico
\4[] $\to$ Crecimiento a l/p es endógeno al modelo
\2 Objeto
\3 Cómo afecta la acumulación de ff.pp al crecimiento
\3 Qué PIB per cápita se alcanza a l/p
\3 Qué modelos neoclásicos relevantes
\3 Qué implicaciones de política económica
\2 Estructura
\3 Harrod-Domar
\3 Solow-Swan
\3 Ramsey-Cass-Koopmans
\1 \marcar{Modelo de Harrod-Domar}\footnote{Págs. 71 a 74 de Sala-i-Martín.} 4-6'
\2 Idea clave
\3 Contexto
\4 Harrod (1939), Domar (1946) y (1947)
\4 Teoría general de Keynes
\4[] Desempleo puede ser persistente
\4[] Macroeconomías no son necesariamente estables
\4[] $\to$ No caracteriza condiciones de pleno empleo en l/p
\4[] $\to$ Se centra en inversión para generar ingreso
\4 Controversia sobre inestabilidad de economía
\4[] Capitalismo induce desempleo generalizado?
\4[] Economías capitalistas pueden utilizar bien los recursos?
\3 Objetivo
\4 Caracterizar condiciones de pleno empleo en l/p
\4 Considerar posibilidad de evolución inestable
\4 Efecto de inversión sobre capacidad productiva
\3 Resultados
\4 Tres estados estacionarios alternativos
\4[] Paro creciente
\4[] Sobreinversión creciente
\4[] Pleno empleo sin inflación
\4 Equilibrios ineficientes
\4[] Si tasa de ahorro no toma determinado valor
\4 Requisitos de pleno empleo de largo plazo
\4[] i. Inversión de pleno empleo cada periodo
\4[] ii. Crecimiento de output y población iguales
\2 Formulación (Barro y Sala-i-Martín)
\3 Supuestos
\4 $F(K,L)=\min \, \{AK, BL \}$\footnote{Denominada habitualmente de \comillas{coeficientes fijos} o de Leontieff.}
\4 Depreciación del capital
\4[] $\delta \cdot k$
\4 Crecimiento de la población
\4 $L(t) = L(0) \cdot e^{nt}$
\3 Producción per cápita
\4 $\frac{1}{L}F(K,L) = F(\frac{K}{L}, 1) = f(k) = \min \{ Ak, B\}$
\4 $f'(k) > 0 \qquad\text{si} \; k < B/A$
\4 $f'(k) = 0 \qquad\text{si} \; k \geq B/A$
\4 Gráfica I: $f(k) - k$
\4[] \grafica{produccionhd}
\3 Dinámica
\4 Variación del stock de capital
\4[] $\dot{k}/{k} = s \frac{\min \{ Ak, B \} }{k} - (n+\delta)$
\4 Representación gráfica
\4[] \grafica{equilibriohd}
\3 Paro
\4 $k$ tiende asintóticamente a 0
\4 Cada vez menos capital por trabajador
\3 Sobreinversión
\4 Exceso de $k$ constante\footnote{Es decir, hay un exceso de capital disponible por cada unida de trabajo disponible. Dado que el trabajo disponible crece a tasa constante, el exceso de trabajo total crece también a tasa constante y por tanto cada vez hay más capital ocioso.}
\4 Oferta de trabajo crece
\4[] $\rightarrow$ Exceso de capital total tiende a $\infty$
\3 Utilización plena de factores
\4 Si $k^* = B/A$
\4[] $\rightarrow sA = n + \delta$
\4 Improbable: s, A, n y $\delta$ son exógenos
\2 Implicaciones
\3 Crecimiento equilibrado
\4 Prácticamente inalcanzable
\4 Cualquier perturbación desvía
\3 Intervención pública
\4 Necesaria para evitar crisis
\4 Sistema capitalista inestable
\2 Formulación original
\3 Proporción óptima capital-trabajo
\4 Empresarios desean mantener $\frac{K}{Y}=v$
\4[] Donde $v$ es una constante que induce óptimo
\4 Para mantener $\frac{K}{Y}=v$
\4[] Invierten en proporción $v$ a crecimiento
\4[] $I = \dv{K}{t} = \dv{Y}{t} \cdot v$
\4[] No conocen $\dv{Y}{t}$ con certeza
\4[] $\to$ Pero lo estiman a partir de multiplicador
\3 Crecimiento del output
\4 Economía keynesiana con multiplicador
\4 Crecimiento respecto a periodo anterior
\4[] Aumento de inversión autónoma por multiplicador
\4[] $\dv{Y}{t} = \dfrac{d \, I}{s}$
\3 Crecimiento con intensidad de capital constante
\4 Empresarios invierten basándose en $\dv{Y}{t} = \dfrac{d \, I}{s}$
\4[] $\then$ $I = \dfrac{d \, I}{s} \cdot v$ $\then$ \fbox{$\frac{d \, I}{I} = \frac{s}{v}$}
\4[] Capital crece a misma tasa que crece inversión
\4[] $\then$ $\frac{d \, I}{I} = \frac{d \, K}{K} = \frac{s}{v}$
\3 Crecimiento del empleo
\4 Oferta de trabajo crece a tasa exógena $n$
\4[] $\frac{d \, L}{L} = n$
\3 Equilibrio de largo plazo
\4 Requiere mantener constantes:
\4[] $\to$ Intensidad de capital en producción $\frac{K}{Y}$
\4[] $\then$ Producción crece a misma tasa que capital
\4[] $\then$ $\frac{dY}{Y} = \frac{dI}{I} = \frac{dK}{K} = \frac{s}{v}$
\4[] $\to$ Relación capital-trabajo $\frac{K}{L}$
\4[] $\then$ Capital y trabajo deben crecer a misma \%
\4[] $\then$ $\frac{dI}{I} = \frac{s}{v} = \frac{dL}{L}$
\4[] $\to$ Intensidad de trabajo en producción $\frac{L}{Y}$
\4[] $\then$ Output y trabajo deben crecer a misma tasa
\4[] $\then$ $\frac{dY}{Y} = \frac{dL}{L}$
\4[$\then$] $\frac{d I}{I} = \frac{d Y}{Y} = \frac{d L}{L}$
\3 Factibilidad del crecimiento de largo plazo
\4 Crecimiento de población es variable exógena
\4[$\then$] Inversión debería ajustarse a
\3 Inestabilidad del equilibrio de largo plazo
\4 Perturbaciones inducen trayectorias explosivas
\4 Aumento inesperado del crecimiento del output
\4[] Cae proporción $\frac{K}{Y}$ por debajo de $v$ deseada
\4[] $\to$ Aumentan inversión para corregir $\frac{K}{Y}$
\4[] $\then$ Output vuelve a crecer más rápido y $\frac{K}{Y} < v$
\4[] $\then$ Crecimiento explosivo del capital y del output
\4[] $\then$ Más crecimiento de output que de L induce inflación
\4 Caída inesperada del crecimiento del output
\4[] Aumenta proporción $\frac{K}{Y}$ por encima de $v$ deseada
\4[] $\to$ Reducen inversión para corregir $\frac{K}{Y}$
\4[] $\then$ Output vuelve a caer por menor inversión y $\frac{K}{Y} > y$
\4[] $\then$ Tendencia hacia depresión
\4[] $\then$ Más crecimiento de L que de Y induce desempleo
\2 Valoración
\3 Supuestos inasumibles\footnote{Según Sala-i-Martín.}
\4 Ratio óptimo constante $\frac{K}{Y}$
\4[] Implica función de proporciones constantes/Leontieff
\4 Producto marginal del capital A
\4[] Fijo, no depende de k
\4[] No se ajusta para que: $s \cdot f(k)/k = n + \delta$
\4 Ahorro fijo
\4[] No se ajusta para evitar capital inactivo
\4 Multiplicador constante
\4 Oferta de trabajo exógena
\3 Actualidad
\4 Modelo relativamente superado
\4 Influyente en neokeynesianismo
\4[] Énfasis sobre posible inestabilidad
\4 Crítica a sistema capitalista
\4 Base para modelo de Solow\footnote{Robert Solow Nobel Prize Lecture (1987).}
\4[] Por ello, enorme relevancia
\1 \marcar{Modelo de Solow-Swann 12'-18'}
\2 Idea clave
\3 Contexto
\4 Basado en Harrod-Domar
\4[] Sin f. de prod. coeficientes fijos\footnote{\comillas{The bulk of this paper is devoted to a model of long-run growth which accepts all the Harrod-Domar assumptions except that of fixed proportions. Instead I suppose that the single composite commodity is produced by labor and capital under the standard neoclassical conditions. [...]} (Solow, 1956)}
\4 Función de producción
\4[] Cumple condiciones de Inada
\4[] $\to$ $\lim_{x_i \to 0} F_i(\vec{x}) \to \infty$
\4[] $\to$ $\lim_{x_i \to \infty} F_i(\vec{x}) = 0$
\3 Objetivo
\4 Caracterizar equilibrio de largo plazo
\4 Evitar supuestos inasumibles de Harrod-Domar
\4[] Ahorro exógeno y estable
\4[] Función de proporciones fijas
\4 Identificar contribución de factores al crecimiento
\4[] Capital, trabajo, tecnología
\3 Resultados
\4 Estado estacionario
\4[] Único
\4[] Estable
\4 Crecimiento p/c largo plazo
\4[] Proceso exógeno es causante
\2 Formulación
\3 Supuestos
\4 Función de producción\footnote{Si la función es Cobb-Douglas, $F(K, AL)$ es equivalente a $F(AK, L)$ porque $K^\alpha (AL)^{1-\alpha} = (\tilde{A} K)^\alpha L^{1-\alpha}$.}: $F(K, AL)$ h.d.g. 1
\4[] Cobb-Douglas:
\4[] Elasticidad de sustitución constante = 1
\4[] Homogénea de grado 1 $\then$ Rdtos. constantes a escala
\4[] Productividad marginal decreciente
\4[] Cumple condiciones de Inada
\4[] $\to$ $F(K,AL) = A(t) K(t)^\alpha L(t)^{1-\alpha}$
\4[] $\frac{1}{AL}F(K, Al) = F(\frac{K}{AL},1) = f(k)$
\4[] $f'(k) > 0, \; f''(k)<0$
\4[] Condiciones de Inada en $\frac{df(k)}{dk}$
\4 Crecimiento del trabajo
\4[] $L(t) = L(0)\cdot e^{nt} \rightarrow \frac{\dot{L}}{L} = n$
\4 Efectividad del trabajo
\4[] $A(t) = A(0)\cdot e^{gt} \rightarrow \frac{\dot{A}}{A} = g$
\3 Dinámica
\4 $\dot{K} = S\cdot F(K, AL) - \delta K$
\4 \fbox{$\dot{k} = \frac{\dot{K}}{AL} = sf(k) - (n+g+\delta)k$}
\4 Estado estacionario
\4[] $sf(k^*) = (n+g+\delta)k^*$
\4[] $\to$ \fbox{$k^* = \left( \frac{s}{n+g+\delta} \right)^{1/(1-\alpha)}$}
\4[] Relación entre ahorro, depreciación y capital
\4[] \grafica{solowahorrodepreciacioncapital}
\4[] Relación entre crecimiento de capital y capital
\4[] \grafica{solowdinamicacapital}
\2 Implicaciones
\3 Aumento de tasa de ahorro
\4 \underline{Producción}
\4[] Aumento de $\dot{k}$
\4[] Aumento de $k^*$
\4[] Aumento de producción
\4[] Más peso del capital en el producto ($\alpha$)
\4[] $\to$ Más productividad marginal del capital dado $k$
\4[] $\then$ Más impacto $\Delta$ ahorro
\4 \underline{Consumo}
\4[] Consumo EE:
\4[] $c^* = f(k^*) - sf(k^*)=f(k^*)-(n+g+\delta)k^*$
\4[] Capital que induce consumo óptimo:
\4[] $\underset{k_{GR}}{\max} \quad f(k^*) - sf(k^*)$
\4[] $\then$ CPO: \quad $f'(k_{GR}) = (n+g+\delta)$
\4[] Ahorro que induce consumo óptimo
\4[] $\underset{s}{\max} \quad y^* - s y^*$
\4[] Dada función Cobb-Douglas $F(K,AL) = K^\alpha (AL)^{1-\alpha}$
\4[] $\to$ $k^* = \left( \frac{s}{n+g+\delta} \right)^{1/(1-\alpha)}$
\4[] $\to$ $y^* = \left( \frac{s}{n+g+\delta} \right)^{\alpha/(1-\alpha)}$
\4[] $\underset{s}{\max} \quad \left( \frac{s}{n+g+\delta} \right)^{\alpha/(1-\alpha)} - s \left( \frac{s}{n+g+\delta} \right)^{\alpha/(1-\alpha)}$
\4[] $\then$ $s_{GR} = \alpha$
\4[] Dado $s_{GR}$ que maximiza consumo
\4[] $\to$ Si $s<s_{GR}$ impacto positivo sobre consumo
\4[] $\to$ Si $s>s_{GR}$ impacto negativo
\4 {Gráficos}\footnote{Página 20 (Romer).}
\4[] Aumenta $\dot{k}$ hasta nuevo estado estacionario
\4[] \grafica{solownuevoahorrocapital}
\4[] Gráfico $s$--$t$
\4[] \grafica{solowahorrotiempo}
\4[] Gráfico $\dot{k}$--$t$
\4[] \grafica{solowcrecimientocapitaltiempo}
\4[] Gráfico $k$--$t$
\4[] \grafica{solowcapitaltiempo}
\4[] Gráfico Crecimiento \% de Y/L--$t$
\4[] \grafica{solowcrecimientoproductividadtiempo}
\4[] Gráfico $\ln(Y/L)$--$t$
\4[] \grafica{solowlogaritmoproductividadtiempo}
\4[] Gráfico $c$--$t$
\4[] \grafica{solowconsumotiempo}
\3 Convergencia
\4 Crecimiento del producto
\4[] Depende de crecimiento de $k$
\4[] Crecimiento de $k$ es más alto cuanto más lejos de $k^*$ de EE
\4[] $\then$ $\Delta$ de $y$ más alto cuanto más lejos de EE
\4[] $\then$ Implica beta-convergencia condicional
\4[] $\then$ Implica sigma-convergencia condicional
\4 Velocidad de convergencia
\4[] ¿Cuánto cae la tasa de crecimiento de $k$\ldots
\4[] \ldots Ante aumento porcentual de $k$?
\4[] $\beta \equiv \dv{\left( \dot{k}/k \right)}{\ln k} = \dv{\left( \dot{y}/y \right) }{\ln y} = -(1-\alpha) \cdot (\delta + n + g)$
\4 {Aproximación mediante expansión de Taylor}
\4[] Más rápido cuanto mayor $(n+g+\delta)$
\4[] Más rápido cuanto menor $\alpha_K$\footnote{Contribución del capital a la producción (share of capital).}
\4 {Ricos y pobres}
\4[] Mismos parámetros $\rightarrow$ pobre crece más que rico
\4[] Mayor retorno de k en países pobres
\4[] Incentivos capital fluya de ricos a pobres
\4 Estudios empíricos
\4[] Entendiendo K como capital físico
\4[] Tomando valores de $\alpha$ habituales
\4[] $\to$ Predice velocidad de convergencia excesiva
\4 Capital humano como solución
\4[] Mankiw, Romer y Weil (1992)
\4[] $\to$ Tener en cuenta retornos al capital humano
\4[] $Y=A(t)K^\alpha H^\eta L^{1-\alpha - \eta}$
\4[] Coeficiente de convergencia similar:
\4[] $\beta^* = (1-\alpha-\eta)\cdot(n + g + \delta)$
\4[] $\to$ $\eta$ reduce velocidad de convergencia
\4[] $\to$ Capital amplio: 2/3 de la renta
\4[] $\then$ Acorde con resultados empíricos
\3 Diferencias PIBpc
\4 Origenes temporales y entre países
\4[I] Capital por trabajador
\4[II] Efectividad del trabajo
\4 Capital por trabajador
\4[] Diferencias de $K/L$ no explican suficientemente
\4 Efectividad del trabajo
\4[] Recoge diferencias PIBpc no explicadas por $K/L$
\4[] Modelizadas como proceso exógeno
\4[] Determinantes no identificados
\2 Extensiones
\3 Trampas de pobreza
\4 Posibles múltiples EEstacionarios
\4[] Dadas funciones de producción irregulares
\3 Crecimiento de la natalidad
\4 No necesariamente endógeno
\3 Recursos naturales
\4 Nordhaus (Nobel 2018) y otros
\3 Modelo de Solow con recurso natural constante\footnote{Ver \href{http://www.artsrn.ualberta.ca/econweb/hryshko/econ403fall2010/CHAPTER9.pdf}{Hryshko (2010)}.}
\4 Idea clave
\4[] Recursos naturales no pueden ser producidos
\4[] Algunos son constantes
\4[] $\to$ Especialmente, tierra
\4[] Necesarios en casi todo proceso productivo
\4[] $\to$ Pero imposibles de replicar
\4[] $\then$ Inducen rendimientos decrecientes a escala
\4 Formulación
\4[] $Y = A K^\alpha T^\beta L^{1-\alpha-\beta}$
\4[] $\frac{\dot{A}}{A} = g$
\4[] $\frac{\dot{L}}{L} = n$
\4[] Retornos decrecientes a escala
\4[] $\to$ En trabajo y en capital
\4 Implicaciones
\4[] Importancia de recurso natural en producción
\4[] $\to$ Reduce output progresivamente
\4[] $\then$ Cuanto mayor $\beta$, mayor R$\downarrow$E
\4[] Output per-cápita tiende a cero
\4[] $\to$ A medida que se realizan R$\downarrow$E
\4[] $\then$ Salvo que progreso tecnológico compense
\4[] Necesario progreso tecnológico
\4[] $\to$ Para compensar caída vía $R\downarrow E$
\4 Valoración
\4[] Peso de factores no renovables en actividad
\4[] $\to$ Aumenta R$\downarrow$E
\4[] Sustitución de actividades intensivas en no renovables
\4[] $\to$ Permite mayor crecimiento en largo plazo
\2 Valoración
\3 Análisis mecánico
\4 No fundamenta equilibrios en optimización
\4 No son equilibrios competitivos
\4 Simple descripción de una dinámica
\3 Acumulación de inputs
\4 Comparación de crecimiento por países
\4[] Partiendo de modelo de Solow
\4[] Acumulación de capital y trabajo no explica todo el crecimiento
\4[] $\to$ Debe existir crecimiento tecnológico
\3 Progreso tecnológico
\4 Modelo de Solow no explica
\4 Terreno abierto a modelos de crecimiento endógeno
\4[] Capaces de explicar crecimiento p.c. en l/p
\3 Nuevo marco de análisis
\4 Contabilidad del crecimiento
\4 Convergencia
\4 Papel del ahorro
\3 Bienestar
\4 Sin optimización del consumidor
\4[] $\to$ no hay análisis de bienestar
\1 \marcar{Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans 10-28'}
\2 Idea clave
\3 Contexto
\4 Solow
\4[] Evolución mecánica
\4[] Supuestos behaviorales
\4[] Sin basar en optimización
\4 Ramsey (1926)
\4[] Primer intento de caracterizar
\4[] $\to$ Decisión intertemporal
\4[] $\then$ Distribuir consumo intertemporalmente
\4 Utilizar para problema de crecimiento
\4[] Decisión entre consumo e inversión
\4[] $\to$ ¿Senda de Solow fundamentación microeconómica?
\3 Caracterizar evolución de:
\4 Output
\4 Consumo
\4 Capital
\4[$\to$] Ahorro
\4[$\to$] Inversión
\4[$\to$] Tipo de interés
\3 A partir de una regla de decisión
\4 Microfundamentada
\4 Basada en comportamiento racional
\4[] Un consumidor con horizonte vital infinito
\4[] O infinitos consumidores que viven 1 periodo
\4[] e internalizan utilidad de generaciones futuras
\4[] $\to$ Oferta cantidad fija de trabajo
\4[] $\to$ Maximiza output dado capital
\4[$\Rightarrow$] Ag. representativo maximiza f. de u. intertemporal
\3 Resultado
\4 Ramsey (1926):
\4[] Planificador social optimiza consumo
\4[] Sin tasa de descuento de la utilidad
\4 Posteriormente:
\4[] Base de modelos DSGE
\4[] $\to$ RBC es RCK con oferta de L endógena
\4 Ausencia de externalidades
\4[] Primer teorema del bienestar:
\4[] Equilibrio competitivo es óptimo de Pareto
\4[] Eq. del planificador es óptimo de Pareto
\4[$\Rightarrow$] Eq. planificador y descentralizado son equivalentes
\4 Tasa de ahorro resultante
\4[] Determinada endógenamente
\4[] $\to$ Resultado de programa de optimización intertemporal
\4[] $\to$ Depende de decisión de consumo óptima
\2 Formulación (planificador)
\3 Programa de maximización
\4[]\fbox{ $\underset{c_t}{\max} \quad U = \int_0^{\infty} u\left( c_t \right) \cdot e^{-\rho t} \cdot e^{(n+g)t} dt$ }
\3 Sujeto a:
\4[] \fbox{ $\int_0^\infty c_t \cdot e^{-J_t} \cdot e^{(g+n)t} dt \leq k_0 + \int_0^\infty w_t \cdot e^{-J_t} \cdot e^{(g+n)t} dt $ }
\4[] \fbox{ $\dot{k}_t = f(k_t) - c_t - (n+g)\cdot k_t$ }
\4[] \fbox{ $\Lim{t \to \infty} k_t \cdot e^{-J_t}e^{(n+g)t} \geq 0$ }
\4[] $\rho > (1-\theta)g + n$
\3 Donde:
\4[] $u(c_t) = \frac{c^{1-\theta} - 1}{1-\theta}$
\4[] ESI: $\sigma = \frac{1}{\theta} = \frac{d \, \ln \frac{c_{t+1}}{c_t} }{ d \, r}:$
\4[] $f(k_t) \equiv \frac{1}{A_t \cdot L_t} F (K_t, A_t \cdot L_t) = F \left( \frac{K_t}{A_t L_t}, 1 \right) $
\4[] $i_t = f'(k_t)$
\4[] $w_t = f(k_t) - k\cdot f'(k_t)$
\4[] $J_t = \int_{0}^{t} i_s ds$
\3 Dinámica del óptimo
\4 Consumo
\4[] \fbox{$\frac{\dot{c}_t}{c_t} = \frac{f'(k_t) - \rho - \theta g}{\theta}$}
\4[] \grafica{consumorck}
\4 Capital
\4[] \fbox{$\dot{k}_t = f(k_t) - c_t - (n+g) k_t$}
\4[] \grafica{capitalrck}
\3 Estado estacionario
\4 $\frac{\dot{c}_t}{c_t} = 0$
\4[] $\then$ \fbox{$f'(k^*_t) = \rho + \theta g$}
\4 $\dot{k}_t = 0$
\4[] $\then$ \fbox{$c^* = f(k^*) - (n+g) k^*$}
\4 Representación gráfica
\4[] \grafica{faserck}
\2 Implicaciones
\3 Consumo
\4 Consumo por unidad de trabajo efectivo $c_t$
\4[] Crece a tasa constante = 0
\4 Consumo per cápita
\4[] Crece a tasa constante $g$
\4 El consumo de EE es inferior al de regla de oro\footnote{Es decir, al consumo máximo alcanzable en EE.}
\4[] En Solow, no hay maximización de utilidad
\4[] Consumo de regla de oro maximiza consumo
\4[] $\to$ Sin tener en cuenta optimalidad
\4[] En RCK, utilidad de consumo se descuenta a $e^{-\rho}$
\4[] $\to$ $c_t$ aporta más utilidad que $c_{t+1}$
\4[] $\to$ Consumo futuro es menos importante
\4[] $\to$ Se prefiere consumir más en presente
\4[] $\then$ Ahorro óptimo menor que ahorro de GR
\4[] $\then$ Se produce y se consume menos en futuro
\4[] $k_{GR}$ es tal que $f'(k_{GR}(t)) = (n+g)$
\4[] $k^*$ es tal que $f'(k^*) = (\rho + \theta g)$
\4 $f(k_{GR}) < f(k^*) \Rightarrow k_{GR} > k^* \Rightarrow (n+g) < \rho +\theta g$
\4 Supuesto inicial: $\rho > (1-\theta) g + n \iff n + g < \rho + \theta g$
\4[$\then$] $k_{GR} > k^*$
\4[] Dada forma de $\dot{k} = 0$
\4[] $\to$ Mayor $k$ implica mayor $c$
\4[] $\then$ $c_{GR} > c^*$
\3 Bienestar
\4 EE del planificador hallable como eq. competitivo
\4[] Porque se cumple 2er Teorema Fundamental del Bienestar
\4[] $\to$ Preferencias no saturables, convexas
\4[] $\to$ Sin externalidades
\4[] $\then$ Existe senda de precios+dotaciones que induce EE
\4 Agentes idénticos $\to$ E senda óptima\footnote{Si la senda $c(t)$ que conduce a E es Pareto-eficiente, y todos los agentes que optimizan en la economía son idénticos, E no es sólo un equilibrio Pareto-eficiente, sino que es además el mejor equilibrio posible.}
\3 Estática comparativa
\4 Caída de la tasa de descuento
\4[] $f'(k^*) = \rho + \theta g$
\4[] $\downarrow \rho \to \downarrow f'(k^*) \to \uparrow k^*$
\4[] $\then$ Curva $\dot{c} = 0$ se desplaza hacia derecha
\4[] $\then$ Aumenta $c^*$, $k^*$
\4[] \grafica{caidadescuentorck}
\4 Aumento del gasto público improductivo
\4[] $\dot{k}_t = f(k_t) - c_t - G_t - (n+g)k_t$
\4[] $\dot{k} = 0 \then c = f(k) - G - (n+g)k$
\4[] $\uparrow G \to \downarrow c$
\4[] $\then$ Curva $\dot{k} = 0$ se desplaza hacia abajo
\4[] $\then$ Igual $k^*$, disminuye $c^*$
\4[] \grafica{aumentogastopublicorck}
\2 Valoración
\3 Comparación con modelo de Solow
\4 Resultados cualitativamente similares
\4[] $\to$ Estado estacionario único
\4[] $\to$ Límite a crec. por acumulación de factores
\4[] $\to$ Crecimiento PIBpc de EE es exógeno
\4 Pero microfundamentando regla de decisión
\4[] Decisión de ahorro basada en max. de utilidad
\4 Permite valorar bienestar
\4 Permite incorporar shocks diferentes
\4 Diferentes velocidades de ajuste a equilibrio
\4[] Partiendo de $k_0 < k^*$
\4[] $\to$ Velocidad de convergencia más alta
\4[] Cuando $k_t<k^*$, ahorro es más alto
\4[] En modelo de Solow, el ahorro es fijo
\3 Limitaciones
\4 Similares a las del modelo de Solow
\4 No explica crecimiento en EE
\4[] $\to$ Endógeno a modelo
\3 Modelos relacionados
\4 Inversión neoclásica (Jorgenson)
\4 Modelos DSGE
\4[] Ciclo Real
\4[] Modelos basados en Lucas (1972)
\1[] \marcar{Conclusión 2'-30'}
\2 Recapitulación
\3 Modelos crecimiento exógeno
\4 Todo lo que no es trabajo ni capital
\4[] $\to$ Proceso exógeno
\3 Harrod-Domar
\4 Ratio capital-output fijo
\4 Crecimiento equilibrado inestable
\3 Solow
\4 Crecimiento equilibrado estable
\4 Marco de contabilidad del crecimiento
\4 Tasa de ahorro exógena
\3 Ramsey-Cass-Koopmans
\4 Tasa de ahorro endógena
\4[] Resultado de optimización
\2 Idea final
\3 Diferencias de riqueza
\4 Factores aparte de $\varDelta L$ y $\varDelta K$
\4 Modelizadas como procesos exógenos
\4 Modelos crecimiento endógeno:
\4[] explicar ese proceso
\3 Consecuencias futuras del presente
\4 Ahorro presente
\4[] $\to$ Impacto producción futura
\4[] $\to$ Impacto bienestar vía consumo
\3 Convergencia entre países
\4 Resultado empírico fundamental
\4[] Países similares tienden a converger
\4[] $\to$ Pobres inicialmente crecen más
\4[] $\to$ Ricos inicialmente crecen menos
\4[] País distintos no convergen
\4[] $\to$ Últimas cinco décadas: África y Europa
\end{esquemal}
\graficas
\begin{axis}{4}{Producción por unidad de trabajo en el modelo de Harrod-Domar}{k}{$f(k)$}{produccionhd}
\draw[-] (0,0) -- (3,3);
\draw[-] (3,3) -- (4,3);
\draw[dashed] (3,3) -- (3,0);
\node[below] at (3,0){$k=B/A$};
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Equilibrio con capital ocioso en Modelo de Harrod Domar}{$k$}{$(\delta + n), \; s \cdot \frac{\min \; \{ Ak, B \} }{k}$}{equilibriohd}
\draw[-] (0,1.5) -- (4,1.5);
\draw[-] (0,3) -- (1,3);
\draw[-] (1,3) to [out=280, in=170](4,0.3);
\draw[dashed] (1,3) -- (1,0);
\node[below] at (1,0){\tiny $k=B/A$};
\draw[dashed] (1.7, 1.5) -- (1.7,0);
\node[below] at (1.7,0){\tiny $k^*$};
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: Inversión y reducción del capital por unidad de trabajo efectivo por depreciación, natalidad y progreso tecnológico en función del capital}{k}{$sf(k)$\\$(n+g+\delta)k$}{solowahorrodepreciacioncapital}
% reducción del capital per cápita
\draw[-] (0,0) -- (4,4.3);
\node[right] at (4,4.3){$(n+g+\delta)k$};
% producción por unidad de trabajo efectivo
\draw[-] (0,0) to [out=85, in=182](4,3.7);
\node[right] at (4,3.7){$f(k)$};
% ahorro por unidad de trabajo efectivo
\draw[-] (0,0) to [out=85, in=182](4,2.6);
\node[right] at (4,2.6){$sf(k)$};
% capital de estado estacionario
\draw[dashed] (2.12,0) -- (2.12,2.3);
\node[below] at (2.12,0){$k^*$};
% consumo por unidad de trabajo
\draw[dashed] (2.12,2.3) -- (0,2.3);
\draw[dashed] (2.12,3.2) -- (0,3.2);
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt},xshift=-2pt,yshift=0pt] (0,2.3) -- (0,3.2) node[black,midway,xshift=-0.3cm] {\footnotesize $c^*$};
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: diagrama de fase del capital.}{$\dot{k}$}{k}{solowdinamicacapital}
\draw[-] (0,0) -- (0,-2);
% trayectoria
\draw[-] (0,0) to [out=60, in=180](1,1);
\draw[-] (1,1) to [out=0, in=120](4,-1.5);
% k de estado estacionario
\draw[-] (3.02,-0.2) -- (3.02,0.2);
\node[below] at (3.02,-0.25){$k^*$};
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: cambio en el capital de estado estacionario tras un aumento del ahorro }{k}{$sf(k)$\\$(n+g+\delta)k$}{solownuevoahorrocapital}
% reducción del capital per cápita
\draw[-] (0,0) -- (4,4.3);
\node[right] at (4,4.3){$(n+g+\delta)k$};
% producción por unidad de trabajo efectivo
\draw[-] (0,0) to [out=85, in=182](4,3.7);
\node[right] at (4,3.7){$f(k)$};
% ahorro por unidad de trabajo efectivo
\draw[-] (0,0) to [out=85, in=182](4,2.6);
\node[right] at (4,2.6){$sf(k)$};
% capital de estado estacionario
\draw[dashed] (2.12,0) -- (2.12,2.3);
\node[below] at (2.12,0){$k^*$};
% % % % % % %
% CAMBIO en ahorro
% NUEVO ahorro por unidad de trabajo efectivo
\draw[dashed] (0,0) to [out=85, in=182](4,3.2);
\node[right] at (4,3.2){$s'f(k)$};
% NUEVO capital de estado estacionario
\draw[dashed] (2.81,0) -- (2.81,3);
\node[below] at (2.81,0){$k^*$};
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: cambio en el ahorro tras un aumento en la tasa de ahorro en $t_0$}{$t$}{$s$}{solowahorrotiempo}
% ahorro
\draw[-] (0,1) -- (2,1) -- (2,2) -- (4,2);
% cambio en t_0
\draw[dashed] (2,0) -- (2,4);
\node[below] at (2,0){$t_0$};
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: efecto de un aumento de la tasa de ahorro en el crecimiento del capital}{$t$}{$\dot{k}$}{solowcrecimientocapitaltiempo}
% cambio en t_0
\draw[dashed] (2,0) -- (2,4);
\node[below] at (2,0){$t_0$};
% cambio en el crecimiento del capital
\draw[-] (0,0) -- (2,0) -- (2,1.5) to [out=280, in= 180](4,0);
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: efecto de un aumento de la tasa de ahorro sobre el capital.}{$t$}{$k$}{solowcapitaltiempo}
% cambio en t_0
\draw[dashed] (2,0) -- (2,4);
\node[below] at (2,0){$t_0$};
% cambio en el capital
\draw[-] (0,1.5) -- (2,1.5) to [out=80, in=180](3,2.5) -- (4,2.5);
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: efecto de un aumento de la tasa de ahorro sobre el crecimiento porcentual de la productividad.}{$t$}{$\Delta \% \frac{Y}{L}$}{solowcrecimientoproductividadtiempo}
% cambio en t_0
\draw[dashed] (2,0) -- (2,4);
\node[below] at (2,0){$t_0$};
% cambio en el crecimiento de la productividad por trabajador
\draw[-] (0,1.5) -- (2,1.5) -- (2,2.5) to [out=280, in=180](4,1.5) -- (5,1.5);
\node[left] at (0,1.5){$g$};
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: efecto de un aumento de la tasa de ahorro sobre el logaritmo de la productividad}{$t$}{$\ln \frac{Y}{L}$}{solowlogaritmoproductividadtiempo}
% cambio en t_0
\draw[dashed] (2,0) -- (2,4);
\node[below] at (2,0){$t_0$};
% logaritmo de la productividad por trabajador
% trayectoria hasta cambio
\draw[-] (0,0.5) -- (2,1.3);
% trayectoria post-cambio
\draw[-] (2,1.3) to [out=80, in=200](2.8,2) -- (4,2.45);
% trayectoria sin cambio
\draw[dashed] (2,1.3) -- (4,2);
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Modelo de Solow: efecto de un aumento de la tasa de ahorro sobre el consumo.}{$t$}{$c$}{solowconsumotiempo}
% cambio en t_0
\draw[dashed] (2,0) -- (2,4);
\node[below] at (2,0){$t_0$};
\draw[-] (0,2) -- (2,2) -- (2,1) to [out=60, in=180](4,1.8);
\end{axis}
Dado que el aumento del ahorro implica un nuevo consumo de estado estacionario inferior al del estado estacionario inicial, el gráfico implica que el capital de estado estacionario inicial antes del aumento de ahorro era superior al capital de la regla de oro.
\begin{axis}{4}{Dinámica del consumo en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans}{k}{c}{consumorck}
\draw[-] (1.4,0) -- (1.4,4);
\node[right] at (1.4,3.9){$\dot{c}=0$};
\node[below] at (1.4,0){$k^*$};
\draw[-{Latex}] (.8,.8) -- (.8,1.2);
\draw[-{Latex}] (3,3) -- (3,2.6);
\draw[-{Latex}] (.6,3) -- (.6,3.4);
\draw[-{Latex}] (2.5,1) -- (2.5,.6);
\end{axis}
El consumo óptimo de un modelo RCK sencillo sigue la senda: $\frac{\dot{c}(t)}{c(t)} = \frac{f'\left( k(t) \right) - \rho - \theta g}{\theta}$. Cuando se cumple que $\dot{c} > 0$, $k(t)$ debe ser más pequeño que $k^* (t)$ dado que $f(\cdot) < 0$. Por ello, la región a la izquierda de $k^*$ se caracteriza por un consumo creciente. De forma contraria, la región a la derecha de $k^*$ implica un nivel de $k(t)$ más alto que $k^*$ y por tanto, un $f'(k(t))$ más bajo, implicando un nivel de consumo decreciente.
\begin{axis}{4}{Dinámica del capital en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans}{k}{c}{capitalrck}
% Capital = 0
\draw[-] (0,0) to [out=88, in=180](2,2.3);
\draw[-] (2,2.3) to [out=-1, in=92](3.8,0);
\draw[-{Latex}] (.8,.8) -- (1.2,.8);
\draw[-{Latex}] (3,3) -- (2.6,3);
\draw[-{Latex}] (.6,3) -- (.2,3);
\draw[-{Latex}] (2.5,1) -- (2.9,1);
\node[right] at (3,2){$\dot{k}=0$};
% consumo de regla de oro
\draw[dashed] (0,2.3) -- (4,2.3);
\node[left] at (0,2.3){$c_{GR}$};
\end{axis}
\begin{axis}{4}{Diagrama de fase completo de las ecuaciones fundamentales del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans}{k}{c}{faserck}
% Consumo = 0
\draw[-] (1.4,0) -- (1.4,4);
\node[below] at (1.4,0){$k^*$};
% Capital = 0
\draw[-] (0,0) to [out=88, in=180](2,2.3);
\draw[-] (2,2.3) to [out=-1, in=92](3.8,0);
\draw[-{Latex}] (.8,.8) -- (.8,1.2);
\draw[-{Latex}] (.8,.8) -- (1.2,.8);
\draw[-{Latex}] (3,3) -- (3,2.6);
\draw[-{Latex}] (3,3) -- (2.6,3);
\draw[-{Latex}] (.6,3) -- (.6,3.4);
\draw[-{Latex}] (.6,3) -- (.2,3);
\draw[-{Latex}] (2.5,1) -- (2.9,1);
\draw[-{Latex}] (2.5,1) -- (2.5,.6);
\draw[red,thick,-{Latex}] (0,0) to [out=70, in=220](1.4,2.20);
\draw[red,thick,-{Latex}] (3.5,3.5) to [out=200, in=40](1.4,2.20);
\node[right] at(1.4,2){\small $E$};
\node[right] at (1.4,3.9){$\dot{c}=0$};
\node[right] at (3,2){$\dot{k}=0$};
% consumo de regla de oro
\draw[dashed] (0,2.3) -- (4,2.3);
\node[left] at (0,2.3){$c_{GR}$};
\end{axis}
El punto E muestra la intersección entre las rectas $\dot{c} = 0$ y $\dot{k} = 0$. En el punto E, todas las variables crecen a una tasa constante.
\begin{axis}{4}{Efecto de una caída en la tasa de descuento de un modelo Ramsey-Cass-Koopmans.}{k}{c}{caidadescuentorck}
% Consumo = 0
\draw[-] (1.4,0) -- (1.4,4);
\node[below] at (1.4,0){$k^*$};
\node[right] at (1.4,3.9){$\dot{c}=0$};
% Capital = 0
\draw[-] (0,0) to [out=88, in=180](2,2.3);
\draw[-] (2,2.3) to [out=-1, in=92](3.8,0);
\node[right] at (3,2){$\dot{k}=0$};
% Senda óptima
\draw[red,thick,-{Latex}] (0,0) to [out=70, in=220](1.4,2.20);
\draw[red,thick,-{Latex}] (3.5,3.5) to [out=200, in=40](1.4,2.20);
% Consumo = 0 tras caída de la tasa de descuento
\draw[dashed] (2,0) -- (2,4);
\end{axis}
A medida que caiga la tasa de descuento $\rho$, el consumo futuro aportará más y el consumo en estado estacionario se acercará más al consumo de la regla de oro de un modelo de Solow equivalente.
\begin{axis}{4}{Efecto de un aumento del gasto público sobre el estado estacionario de un modelo Ramsey-Cass-Koopmans.}{k}{c}{aumentogastopublicorck}
% Consumo = 0
\draw[-] (1.4,0) -- (1.4,4);
\node[below] at (1.4,0){$k^*$};
\node[right] at (1.4,3.9){$\dot{c}=0$};
% Capital = 0
\draw[-] (0,0) to [out=88, in=180](2,2.3);
\draw[-] (2,2.3) to [out=-1, in=92](3.8,0);
\node[right] at (3,2){$\dot{k}=0$};
% Senda óptima
\draw[red,thick,-{Latex}] (0,0) to [out=70, in=220](1.4,2.20);
\draw[red,thick,-{Latex}] (3.5,3.5) to [out=200, in=40](1.4,2.20);
% Estado estacionario
%\node[right] at(1.4,2){\small $E$};
% Capital = 0 tras aumento del gasto público
\draw[dashed] (0,0) to [out=88, in=180](2,1.8) to [out=0, in=92](3.4,0);
% Senda óptima tras aumento del gasto público
\draw[dashed,red,thick,-{Latex}] (0,0) to [out=70, in=220](1.4,1.7);
\draw[dashed,red,thick,-{Latex}] (3.5,3.0) to [out=200, in=40](1.4,1.7);
\end{axis}
\conceptos
\concepto{Ahorro que maximiza consumo en un modelo de Solow con función de producción Cobb-Douglas}
En un modelo de Solow estándar, el estado estacionario se caracteriza por una tasa de crecimiento nula del capital por trabajador efectivo. Ello resulta en una cantidad de capital por trabajador efectivo constante, y en un producto por trabajador efectivo constante. Ambos dependen de los parámetros del modelo y no del periodo. Es decir, de la tasa de ahorro ($s$), de la tasa de crecimiento de la población ($n$), del progreso tecnológico ($g$), de la tasa de depreciación ($\delta$) y de la participación del capital en el producto ($\alpha$). El consumo por trabajador efectivo es igual al producto por trabajador efectivo menos la fracción del producto por trabajador efectivo que se dedica al ahorro. Por ende, el consumo en estado estacionario dependerá también de los parámetros y no del tiempo. En términos formales: