README.md

Search in Rotated Sorted Array

題目連結

題目描述

原文：

There is an integer array nums sorted in ascending order (with distinct values).

Prior to being passed to your function, nums is possibly rotated at an unknown pivot index k (1 <= k < nums.length) such that the resulting array is [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]] (0-indexed). For example, [0,1,2,4,5,6,7] might be rotated at pivot index 3 and become [4,5,6,7,0,1,2].

Given the array nums after the possible rotation and an integer target, return the index of target if it is in nums, or -1 if it is not in nums.

You must write an algorithm with O(log n) runtime complexity.

---

GPT 4 翻譯：

存在一個按升序排列的整數陣列 nums（具有不重複的值）。

在傳遞給您的函數之前，nums 可能會在未知的軸心索引 k 上旋轉（1 <= k < nums.length），使得結果陣列變為 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（從0開始索引）。例如，[0,1,2,4,5,6,7] 可能在軸心索引 3 處旋轉並變成 [4,5,6,7,0,1,2]。

給定可能旋轉後的陣列 nums 和一個整數 target，如果 target 在 nums 中，則返回 target 的索引；如果不在 nums 中，則返回 -1。

您必須寫出一個具有 O(log n) 運行時間複雜度的演算法。

---

Example 1

Input: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
Output: 4

Example 2

Input: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
Output: -1

Example 3

Input: nums = [1], target = 0
Output: -1

Constraints:

• 1 <= nums.length <= 5000
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4
• All values of nums are unique.
• nums is an ascending array that is possibly rotated.
• -10^4 <= target <= 10^4

思路

這題和 153. Find Minimum in Rotated Sorted Array 很像，所以可以持續用 153 題的思路來做延伸，最簡單的做法，就是利用 153 題找到最小值，再把陣列切分成一半，左邊用 Binary Search 去找 target、右邊用 Binary Search 去找 target，都沒找到就返回 -1。

有沒有更快的做法呢？因為感覺先找最小值的過程中，答案應該就要能呼之欲出，但真的是這樣嗎？可能需要嘗試看看：
Input: nums = [4,5,6,7,0,1,2]

當 target = 4
第一輪搜尋： 4 5 6 7 0 1 2，切一半後來看， target 可能在哪裡？在左邊，因為他介於 left <= target < mid 中間（左半段正序）

再試一次，當 target = 0
第一輪搜尋： 4 5 6 7 0 1 2，target 在右半段，因為左半段是正序，但正序的範圍內不包含 target。

再試一次，當 target = 3
第一輪搜尋： 4 5 6 7 0 1 2，target 在右半段，因為左半段是正序，但正序的範圍內不包含 target。
第二輪搜尋： 0 1 2，target 在右半段，因為他介於左半段是正序，但範圍內不包含 target。
第三輪搜尋： 2，最後剩一個數字，target 不等於這個數字，則返回 -1。

---

感覺可行？再旋轉看看！
Input: nums = [6,7,0,1,2,4,5]
當 target = 4
第一輪搜尋： 6 7 0 1 2 4 5，切一半後來看， target 可能在哪裡？在右邊，因為他介於 mid < target < right 中間（右半段正序）

再試一次，當 target = 0
第一輪搜尋： 6 7 0 1 2 4 5，target 在左半段，因為右半段是正序，但正序的範圍內不包含 target。

再試一次，當 target = 8
第一輪搜尋： 4 5 6 7 0 1 2，target 在左半段，因為右半段是正序，但正序的範圍內不包含 target。
第二輪搜尋： 4 5 6 7
👉 target 在右半段，因為左半段是正序，但正序的範圍內不包含 target。
或
👉 target 在左半段，因為右半段是正序，但正序的範圍內不包含 target。
以上兩者得到的結論會一樣，找不到 target。

---

整理一下：

在判斷第二輪要往往左半邊還是右半邊找的時候，需要多把 target 這個因素考量進去：

if (nums[mid] == target): return mid
elif (左半段是正序 and 右半段是正序): # 沒有旋轉的狀況
    if (target 在左半範圍):
        right = mid - 1
    elif (target 在右半範圍):
        left = mid + 1
elif (左半段是正序 and 右半段是亂序):
    if (target 在左半段正序範圍內):
        right = mid - 1
    else:
        left = mid + 1
elif (右半段是正序 and 左半段是亂序):
    if (target 在右半段正序範圍內):
        left = mid + 1
    else:
        right = mid - 1

整理一下，可以得到：

if nums[mid] == target:
    return mid
elif  (左半段是正序):
    if (target 在左半段正序範圍內):
        right = mid - 1
    else:
        left = mid + 1
else:
    if (target 在右半段正序範圍內):
        left = mid + 1
    else:
        right = mid - 1

整理到上面這樣已經可以了，但如果要再整理，會變成下面這樣：

if nums[mid] == target:
    return mid
elif (target 在左半正序範圍內) or (左半亂序 and ( target 不在右半正序範圍內 )):
    # 上面這段程式碼會變成
    # (target 在左半正序範圍內) -> nums[left] <= target < nums[mid]
    # (左半亂序 and ( target 不在右半正序範圍內 ))
        # 左半亂序 -> nums[left] > nums[mid]
        # target 不在右半正序範圍內 -> target < nums[mid] (比右半最小值還小) or target >= nums[left] (比右半最大值還大)
    # 整理一下： nums[left] <= target < nums[mid] or nums[left] > nums[mid] > target or target >= nums[left] > nums[mid]
    right = mid - 1
else:
    left = mid + 1

方法: Binary Search

• 步驟

  1. 初始化 left, right。
  2. 取 mid = (left + right) // 2，比較 nums[left]、nums[mid]、nums[right] 之間的關係。
     • 若 nums[mid] == nums[right]: 返回 mid 位置。
     • 若 nums[left] < nums[mid] (表示左半正序)
       • 若 nums[left] <= target < nums[mid] (表示在範圍內): 下一輪搜尋左半段
       • 其他狀況: 下一輪搜尋右半段
     • 若 nums[mid] < nums[right] (表示右半正序)
       • 若 nums[mid] < target <= nums[right] (表示在範圍內): 下一輪搜尋右半段
       • 其他狀況: 下一輪搜尋左半段

• 複雜度

  • 時間複雜度: O(logN)
  • 空間複雜度: O(1)