06-croisement-var-quant-var-qual.Rmd

# Lien variable quantitative - variable qualitative

## Statistiques en fonction d'un facteur

Par exemple, calculer la population totale (moyenne, médiane...) des communes pour chaque type ZAU.

```{r agregat, echo = F}
ag <- dat %>% group_by(ZAU) %>%
  summarise(pop_moy = mean(P14_POP, na.rm = T), 
            dens_med = median(P14_POP, na.rm = T),
            nb_com = n())
print(ag)
```

## Eléments théoriques

- Soit X une variable continue, et Y $\in \{1, ..., k\}$ une variable qualitatives à k modalités
- Dans chaque classe j : $\bar{X_j}=\mathbb{E}(X/Y=j)$ et $\sigma_j^2 = \mathbb{V}(X/Y=j)$
- Variance intraclasse : $V_{intra} = \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^k n_j \sigma_j^2$, moyenne (pondérée) des variances de chaque classe
- Variance interclasse : $V_{inter} = \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^k n_j (\bar{x_j}-\bar{x})^2$, variance (pondérée) des moyennes de chaque classe
- Rapport de corrélation : $\eta^2 = \dfrac{V_{inter}}{V_{Totale}}= \dfrac{V_{inter}}{V_{inter}+V_{intra}}$
- C'est le $R^2$ de l'anova de X par Y

## Représentation graphique

Pour réprésenter graphiquement le croisement d'une variable qualitative avec une variable quantitative, il existe plusieurs moyens.

- La fonction `geom_boxplot()` produit la boîte à moustaches pour visualiser, pour chaque modalités de la variable qualitative, la distribution de la variable quantitative. La barre la plus basse de la boîte indique Q1 (pourcentile 25%), le trait au milieu indique la médiane, et la barre supérieur de la boîte indique Q3.

```{r boxplot, warning = FALSE, message = FALSE}
dat <- dat %>%
  mutate (densite = P14_POP / SUPERF,
          log_dens = log10 (densite+0.00000001))

ggplot (data = dat, aes (y = log (densite), x = ZAU2, fill = ZAU2)) +
  geom_boxplot () +
  coord_flip () + # pour plus de lisibilité
  theme (legend.position = "none") # supprime la légende
```

- Le *violinplot* (fonction `geom_violin()`) fonctionne sur le même principe. Les boîtes à moustaches sont remplacées par des graphiques en *violon*, qui représentent la densité de distribution de la variables quantitatives.

```{r violinplot, warning = FALSE, message = FALSE}
ggplot (data = dat, aes (y = log (densite), x = ZAU2, fill = ZAU2)) +
  geom_violin () +
  coord_flip () +
  theme (legend.position = "none")
```


## Calcul du rapport de corrélation

Le **rapport de corrélation** est une mesure de la force de la liaison existant entre une variable quantitative et une variable qualitative. Il est similaire au coefficient de corrélation. Il se définit comme suit : $\hat{\eta}^2 = \frac{VarInter}{VarTotale}$.
Pour le calculer, on peut appliquer la fonction `etaSquared()` sur un objet de type anova.
Si on veut quantifier le lien éventuel entre la densité de population et les ZAU, on fait donc :

```{r}
anova <- aov (densite ~ ZAU2, data = dat)
etaSquared (anova) # package lsr comme le v de cramer
```